Énoncé Pour tout x ≥ − 2 1 , on admet l'identité 0 ∫ x 1 + t t 2 d t = ln ( 1 + x ) − x + 2 1 x 2 . Montrer que pour tout t ≥ − 2 1 : 1 + t t 2 ≤ 2 t 2 . En déduire que pour tout x ≥ − 2 1 : 0 ∫ x 1 + t t 2 d t ≤ 3 2 ∣ x ∣ 3 . En déduire x → 0 lim x 2 ln ( 1 + x ) − x .

Limite par encadrement intégral

Intermédiaire

Énoncé

Pour tout $x \geq - \frac{1}{2}$ , on admet l'identité $0 \int x \frac{t ^{2}}{1 + t} d t = ln (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2}$ .

Montrer que pour tout $t \geq - \frac{1}{2}$ : $\frac{t ^{2}}{1 + t} \leq 2 t^{2}$ .
En déduire que pour tout $x \geq - \frac{1}{2}$ : $0 \int x \frac{t ^{2}}{1 + t} d t \leq \frac{2}{3} ∣ x ∣^{3}$ .
En déduire $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la première question, commence par remarquer que si $t \geq -\dfrac{1}{2}$, alors $1+t \geq \dfrac{1}{2}$. Qu'est-ce que cela te dit sur $\dfrac{1}{1+t}$ ? Pense à inverser l'inégalité.

2 Indice 2

Pour trouver la limite, utilise l'identité donnée pour exprimer $\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^{2}}$ en fonction de l'intégrale. Ensuite, divise l'encadrement de la question 2 par $x^{2}$ et applique le théorème des gendarmes.

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Pour la première question, commence par remarquer que si $t \geq - \frac{1}{2}$ , alors $1 + t \geq \frac{1}{2}$ . Qu'est-ce que cela te dit sur $\frac{1}{1 + t}$ ? Pense à inverser l'inégalité.

Pour trouver la limite, utilise l'identité donnée pour exprimer $\frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}$ en fonction de l'intégrale. Ensuite, divise l'encadrement de la question 2 par $x^{2}$ et applique le théorème des gendarmes.

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