Encadrement de ln(1+x) et application Montrer que pour tout t ≥ 0 : 1 − t ≤ 1 + t 1 ≤ 1 . En déduire que pour tout x ≥ 0 : x − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) ≤ x . En déduire un encadrement de l'intégrale I = 0 ∫ 1 ln ( 1 + x ) d x .

Encadrement d'une intégrale par inégalités

Difficile

Énoncé

Encadrement de ln(1+x) et application

Montrer que pour tout $t \geq 0$ : $1 - t \leq \frac{1}{1 + t} \leq 1$ .
En déduire que pour tout $x \geq 0$ : $x - \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) \leq x$ .
En déduire un encadrement de l'intégrale $I = 0 \int 1 ln (1 + x) d x$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, compare $\dfrac{1}{1+t}$ à $1$ directement, puis étudie le signe de $\dfrac{1}{1+t} - (1-t)$ en réduisant au même dénominateur.

2 Indice 2

Pour la question 2, intègre l'encadrement de la question 1 entre $0$ et $x$, en reconnaissant que $\int_0^x \frac{1}{1+t}\,dt = \ln(1+x)$.

3 Indice 3

Pour la question 3, intègre à nouveau l'encadrement de la question 2, cette fois entre $0$ et $1$, terme à terme.

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Pour la question 1, compare $\frac{1}{1 + t}$ à $1$ directement, puis étudie le signe de $\frac{1}{1 + t} - (1 - t)$ en réduisant au même dénominateur.

Pour la question 2, intègre l'encadrement de la question 1 entre $0$ et $x$ , en reconnaissant que $0 \int x \frac{1}{1 + t} d t = ln (1 + x)$ .

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