Équation différentielle du second ordre On considère l'équation différentielle ( E ) : y ′′ − 4 y ′ + 13 y = 0 . Résoudre ( E ) dans R . Déterminer la solution g de ( E ) telle que g ( 0 ) = 0 et g ′ ( 0 ) = 3 . En déduire que 0 ∫ π sin ( 3 x ) e 2 x d x = 13 3 ( 1 + e 2 π ) , puis calculer 0 ∫ π cos ( 3 x ) e 2 x d x .

Équation différentielle et intégrale déduite

Difficile

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Équation différentielle du second ordre

On considère l'équation différentielle $(E) : y^{''} - 4 y^{'} + 13 y = 0$ .

Résoudre $(E)$ dans $R$ .
Déterminer la solution $g$ de $(E)$ telle que $g (0) = 0$ et $g^{'} (0) = 3$ .
En déduire que $0 \int π sin (3 x) e^{2 x} d x = \frac{3}{13} (1 + e^{2 π})$ , puis calculer $0 \int π cos (3 x) e^{2 x} d x$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, écris l'équation caractéristique $r^2-4r+13=0$, calcule son discriminant (négatif) pour obtenir des racines complexes conjuguées.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilise les conditions initiales $g(0)=0$ et $g'(0)=3$ pour déterminer les constantes $\alpha$ et $\beta$.

3 Indice 3

Pour la question 3, remarque que $g$ vérifie $g''=4g'-13g$ ; intègre cette relation entre $0$ et $\pi$ pour faire apparaître $\int \sin(3x)e^{2x}dx$, puis utilise une primitive classique de $e^{ax}\cos(bx)$ pour la seconde intégrale.

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Pour la question 1, écris l'équation caractéristique $r^{2} - 4 r + 13 = 0$ , calcule son discriminant (négatif) pour obtenir des racines complexes conjuguées.

Pour la question 2, utilise les conditions initiales $g (0) = 0$ et $g^{'} (0) = 3$ pour déterminer les constantes $α$ et $β$ .

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