Énoncé Pour n ∈ N ∗ , on pose : u n = 1 ∫ e x ( 1 − ln x ) n d x . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : u n ≥ 0 . Étudier la monotonie de ( u n ) n ≥ 1 et en déduire qu'elle est convergente. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : u n + 1 = − 2 1 + 2 n + 1 u n . Déterminer n → + ∞ lim u n .

Suite d'intégrales avec relation de récurrence

Difficile

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ , on pose : $u_{n} = 1 \int e x (1 - ln x)^{n} d x$ .

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $u_{n} \geq 0$ .
Étudier la monotonie de $(u_{n})_{n \geq 1}$ et en déduire qu'elle est convergente.
Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $u_{n + 1} = - \frac{1}{2} + \frac{n + 1}{2} u_{n}$ .
Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la positivité, encadre $\ln x$ sur $[1,e]$ puis $1-\ln x$, et vérifie le signe de tout l'intégrande.

2 Indice 2

Pour la monotonie, compare $(1-\ln x)^{n+1}$ et $(1-\ln x)^n$ sur $[1,e]$ en te servant de l'encadrement $0\leq 1-\ln x\leq 1$, et déduis le signe de $u_{n+1}-u_n$.

3 Indice 3

Pour la relation de récurrence, effectue une intégration par parties avec $w'=x$ et $z=(1-\ln x)^{n+1}$. Pour la limite, utilise la relation obtenue avec la convergence supposée de $(u_n)$ pour aboutir à une contradiction si $\ell>0$.

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Pour la positivité, encadre $ln x$ sur $[1, e]$ puis $1 - ln x$ , et vérifie le signe de tout l'intégrande.

Pour la monotonie, compare $(1 - ln x)^{n + 1}$ et $(1 - ln x)^{n}$ sur $[1, e]$ en te servant de l'encadrement $0 \leq 1 - ln x \leq 1$ , et déduis le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

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