Intégration par parties et aire d'une région plane

Exercice 2 — Intégration par parties et calcul d'aire

On considère la fonction f définie sur $[0;+\infty [$ par : $f(x)=(2x+1)e^{-x}$.

On note (𝒞) sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O;\mathbf{i},\mathbf{j})$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $[0;+\infty [$. En déduire les variations de $f$ sur cet intervalle.

2. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x\to +\infty$. (On admettra que $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot e^{-x}=0$.)

3. On pose $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x+1)e^{-x}dx$.
   En utilisant une intégration par parties avec $u(x)=2x+1$ et $v^{\prime }(x)=e^{-x}$, calculer $J$.

4. Soit 𝒟 le domaine délimité par la courbe (𝒞), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
   Montrer que $f(x)\ge 0$ sur $[0;1]$, puis calculer l'aire 𝒜 de 𝒟 en unité d'aire.