Étude de $f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$ et convexité — Bac France 2024

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(x^2-2x+2)e^x$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$. Factoriser ces expressions.
2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet (on admettra que $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$ pour tout entier n).
3. Étudier la convexité de f et déterminer ses éventuels points d'inflexion.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.
5. Déterminer l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$, et préciser si cette tangente est au-dessus ou en dessous de $C_f$ au voisinage de 0.