Convexité, inflexion et inégalité via TAF

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=x\ln (x)-x+1$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ puis $f^{\prime \prime }(x)$. En déduire la convexité de $f$ sur $]0;+\infty [$.
2. Montrer que $f$ admet un minimum en $x=1$ et calculer $f(1)$. En déduire que pour tout $x>0$ : $x\ln (x)\ge x-1$.
3. À l'aide du théorème des accroissements finis appliqué à la fonction $\ln$ sur l'intervalle $[1;2]$, montrer qu'il existe $c\in ]1;2[$ tel que $\ln (2)=\frac{1}{c}$, puis en déduire l'encadrement : $\frac{1}{2}<\ln (2)<1$.
4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $1$, et montrer que cette tangente est en dessous de $C_f$ (interpréter géométriquement la convexité).