Dérivabilité et tangente d'une fonction définie par morceaux

Exercice 2 — Dérivabilité en un point

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^2+1$ si $x\le 1$, et $f(x)=ax+b$ si $x>1$,

où $a$ et $b$ sont deux réels.

1. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $x=1$.
2. Avec les valeurs trouvées, étudier la dérivabilité de $f$ en $x=1$ à l'aide de la définition (taux d'accroissement).
3. La courbe $C_f$ admet-elle une tangente au point d'abscisse $x=1$ ? Si oui, donner son équation.
4. Calculer $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ et dresser le tableau de variations de $f$.