Soit f ( x ) = x ⋅ e − x 2 /2 . Montrer que f est impaire et calculer ses limites en ± ∞ . Calculer f ′ ( x ) et dresser le tableau de variations complet. Montrer que pour tout x ∈ R : ∣ x ⋅ e − x 2 /2 ∣ ≤ e − 1/2 . En appliquant le théorème des accroissements finis à f sur [ a , b ] , montrer que : ∣ f ( b ) − f ( a ) ∣ ≤ ∣ b − a ∣ ⋅ max [ a , b ] ∣ f ′ ( x ) ∣ En déduire que pour tout a , b ∈ R : ∣ b ⋅ e − b 2 /2 − a ⋅ e − a 2 /2 ∣ ≤ ∣ b − a ∣ .

Théorème de Rolle et accroissements finis (Bac)

Difficile

Soit $f (x) = x \cdot e^{- x^{2} /2}$ .

Montrer que f est impaire et calculer ses limites en $\pm \infty$ .
Calculer $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations complet.
Montrer que pour tout $x \in R$ : $∣ x \cdot e^{- x^{2} /2} ∣ \leq e^{- 1/2}$ .
En appliquant le théorème des accroissements finis à f sur $[a, b]$ , montrer que :

$∣ f (b) - f (a) ∣ \leq ∣ b - a ∣ \cdot max_{[a, b]} ∣ f^{'} (x) ∣$

En déduire que pour tout $a, b \in R$ : $∣ b \cdot e^{- b^{2} /2} - a \cdot e^{- a^{2} /2} ∣ \leq ∣ b - a ∣$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour l'imparité, calcule $f(-x)$ et compare-le à $-f(x)$ ; pour les limites, utilise les croissances comparées.

2 Indice 2

Pour la dérivée, utilise $f=u\times v$ avec $u(x)=x$, $v(x)=e^{-x^2/2}$ ; factorise ensuite par $e^{-x^2/2}$ pour étudier le signe.

3 Indice 3

Pour la dernière question, applique le théorème des accroissements finis à $f$ entre $a$ et $b$, puis majore $|f'(x)|$ par $1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'imparité, calcule $f (- x)$ et compare-le à $- f (x)$ ; pour les limites, utilise les croissances comparées.

Pour la dérivée, utilise $f = u \times v$ avec $u (x) = x$ , $v (x) = e^{- x^{2} /2}$ ; factorise ensuite par $e^{- x^{2} /2}$ pour étudier le signe.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points