Soit f ( x ) = ln ( 1 + x ) . Appliquer le Théorème des Accroissements Finis (TAF) à f sur [ 0 , x ] pour x > 0 . En déduire l'inégalité : 1 + x x ≤ ln ( 1 + x ) ≤ x pour tout x ≥ 0 . Quelle est la valeur du point c donné par le TAF dans le cas x = 1 ? Appliquer le TAF à f sur [ x , 0 ] pour − 1 < x < 0 .

Théorème des accroissements finis et inégalités logarithmiques

Difficile

Soit $f (x) = ln (1 + x)$ .

Appliquer le Théorème des Accroissements Finis (TAF) à $f$ sur $[0, x]$ pour $x > 0$ .
En déduire l'inégalité : $\frac{x}{1 + x} \leq ln (1 + x) \leq x$ pour tout $x \geq 0$ .
Quelle est la valeur du point $c$ donné par le TAF dans le cas $x = 1$ ?
Appliquer le TAF à $f$ sur $[x, 0]$ pour $- 1 < x < 0$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Verifie d'abord que $f(x)=\\ln(1+x)$ remplit les hypotheses du TAF sur l'intervalle considere.

2 Indice 2

Le TAF donne $\\ln(1+x)=\\dfrac{x}{1+c}$ pour un $c\\in\\,]0,x[$ ; encadre alors $\\dfrac{1}{1+c}$ a partir de $0

3 Indice 3

Multiplie l'encadrement de $\\dfrac{1}{1+c}$ par $x$ (attention au signe de $x$) pour obtenir les inegalites, et pose $x=1$ pour la valeur de $c$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Verifie d'abord que $f (x) = l n (1 + x)$ remplit les hypotheses du TAF sur l'intervalle considere.

Le TAF donne $l n (1 + x) = df r a c x 1 + c$ pour un $c in,] 0, x [$ ; encadre alors $df r a c 1 1 + c$ a partir de $0 < c < x$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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