Soit f m ( x ) = x 3 − 3 m x + 2 où m est un paramètre réel. Étudier les variations de f m selon les valeurs de m. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles f m admet un maximum local et un minimum local. Montrer que si m > 0 , l'équation f m ( x ) = 0 admet trois solutions distinctes si et seulement si m > 1 . Application : résoudre x 3 − 6 x + 2 = 0 (nombre de solutions).

Étude de fonction avec paramètre (Bac national)

Difficile

Soit $f_{m} (x) = x^{3} - 3 m x + 2$ où m est un paramètre réel.

Étudier les variations de $f_{m}$ selon les valeurs de m.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles $f_{m}$ admet un maximum local et un minimum local.
Montrer que si $m > 0$ , l'équation $f_{m} (x) = 0$ admet trois solutions distinctes si et seulement si $m > 1$ .
Application : résoudre $x^{3} - 6 x + 2 = 0$ (nombre de solutions).

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1 Indice 1

Tout depend du signe de $f'_m(x)=3(x^2-m)$ : distingue selon $m\\le 0$ et $m>0$.

2 Indice 2

Pour trois racines, il faut que le maximum local soit positif et le minimum local negatif.

3 Indice 3

Traduis la condition sur le minimum local $-2m\\sqrt{m}+2<0$ en une inegalite sur $m$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Tout depend du signe de $f_{m}^{'} (x) = 3 (x^{2} - m)$ : distingue selon $m l e 0$ et $m > 0$ .

Pour trois racines, il faut que le maximum local soit positif et le minimum local negatif.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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