Problème d'optimisation (Bac national)

Difficile
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Énoncé

On considère la fonction où a et b sont des réels.

  1. Déterminer a et b sachant que et .
  2. Étudier les variations de g et tracer sa courbe.
  3. Montrer que g admet une asymptote et étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
  4. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe, l'asymptote et les droites et .

Indices

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1 Indice 1
Utilise $g(0) = 2$ pour trouver $b$, puis dérive $g(x) = (ax+b)e^{-x}+1$ avec la formule du produit pour utiliser $g'(0) = -1$ et trouver $a$.
2 Indice 2
Une fois $a$ et $b$ connus, étudie le signe de $g'(x)$ pour les variations, et calcule les limites en $-\infty$ et $+\infty$ pour l'asymptote.
3 Indice 3
Pour l'aire, compare $g(x)$ à $1$ (signe de $g(x)-1$), puis calcule $\displaystyle\int_0^2 (g(x)-1)\,dx$ par une primitive de la forme $e^{-x}$.

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La méthode — par où commencer

Utilise pour trouver , puis dérive avec la formule du produit pour utiliser et trouver .

Une fois et connus, étudie le signe de pour les variations, et calcule les limites en et pour l'asymptote.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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