Énoncé Pour n ∈ N ∗ , on considère la fonction g n définie sur R par g n ( x ) = x + e − n x , de courbe ( C n ) . Calculer x → + ∞ lim g n ( x ) et x → − ∞ lim g n ( x ) , puis étudier les branches infinies de ( C n ) . Étudier la position relative de ( C 2 ) par rapport à ( C 1 ) . Étudier le sens de variation de g n sur R , en déduire que g n admet une valeur minimale u n , puis calculer n → + ∞ lim u n .

Famille de fonctions x + e^(−nx) et minimum

Difficile

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ , on considère la fonction $g_{n}$ définie sur $R$ par $g_{n} (x) = x + e^{- n x}$ , de courbe $(C_{n})$ .

Calculer $x \to + \infty lim g_{n} (x)$ et $x \to - \infty lim g_{n} (x)$ , puis étudier les branches infinies de $(C_{n})$ .
Étudier la position relative de $(C_{2})$ par rapport à $(C_{1})$ .
Étudier le sens de variation de $g_{n}$ sur $R$ , en déduire que $g_{n}$ admet une valeur minimale $u_{n}$ , puis calculer $n \to + \infty lim u_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour les limites, sépare le comportement de $x$ et de $e^{-nx}$ selon que $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$ ; pour l'asymptote oblique, étudie $g_n(x)-x$.

2 Indice 2

Pour comparer $(C_2)$ et $(C_1)$, étudie le signe de $g_2(x)-g_1(x)=e^{-2x}-e^{-x}$ en factorisant par $e^{-x}$.

3 Indice 3

Pour le minimum, calcule $g_n'(x)=1-ne^{-nx}$, résous $g_n'(x)=0$ pour trouver $x=\dfrac{\ln n}{n}$, puis exprime $u_n$ et utilise la croissance comparée pour la limite.

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Pour les limites, sépare le comportement de $x$ et de $e^{- n x}$ selon que $x \to + \infty$ ou $x \to - \infty$ ; pour l'asymptote oblique, étudie $g_{n} (x) - x$ .

Pour comparer $(C_{2})$ et $(C_{1})$ , étudie le signe de $g_{2} (x) - g_{1} (x) = e^{- 2 x} - e^{- x}$ en factorisant par $e^{- x}$ .

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