Étude complète de f(x) = x − 2 + x·e^(2−x)

Énoncé

A. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(1-x)e^{2-x}+1$. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $g(x)\ge 0$.

B. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-2+x{e}^{2-x}$.

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=g(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que la droite $(\Delta ):y=x-2$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$, et étudier la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta )$.

4. Montrer que $(C_f)$ admet un unique point d'inflexion de coordonnées $(2;2)$, et déterminer l'équation de la tangente $(T)$ en ce point.

5. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \mathbb{R}$, avec $0<\alpha <1$.