Énoncé On considère la fonction f définie par f ( x ) = 2 x + e x − 1 e x . Vérifier que D f = R ∗ . Calculer x → 0 + lim f ( x ) et x → 0 − lim f ( x ) , puis interpréter graphiquement. Calculer x → − ∞ lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . Montrer que la droite ( Δ ) : y = 2 x est asymptote oblique à ( C f ) au voisinage de − ∞ , et que la droite ( D ) : y = 2 x + 1 est asymptote oblique au voisinage de + ∞ .

Fonction 2x + eˣ/(eˣ − 1) et asymptotes

Difficile

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = 2 x + \frac{e ^{x}}{e ^{x} - 1}$ .

Vérifier que $D_{f} = R^{*}$ .
Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to 0^{-} lim f (x)$ , puis interpréter graphiquement.
Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
Montrer que la droite $(Δ) : y = 2 x$ est asymptote oblique à $(C_{f})$ au voisinage de $- \infty$ , et que la droite $(D) : y = 2 x + 1$ est asymptote oblique au voisinage de $+ \infty$ .

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1 Indice 1

Pour le domaine, cherche pour quelles valeurs de $x$ le dénominateur $e^x-1$ s'annule.

2 Indice 2

Pour les limites en $0^+$ et $0^-$, pose $u=e^x-1$ et étudie son signe de part et d'autre de $0$.

3 Indice 3

Pour les asymptotes, calcule $f(x)-2x$ en $-\infty$ et $f(x)-(2x+1)$ en $+\infty$ ; simplifie $\dfrac{e^x}{e^x-1}$ en divisant par $e^x$ si besoin.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour le domaine, cherche pour quelles valeurs de $x$ le dénominateur $e^{x} - 1$ s'annule.

Pour les limites en $0^{+}$ et $0^{-}$ , pose $u = e^{x} - 1$ et étudie son signe de part et d'autre de $0$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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