Étude de gₙ(x) = nx + 2ln x et localisation de la racine

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 3$. On considère la fonction $g_n$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g_n(x)=nx+2\ln x$.

1. Étudier le sens de variation de $g_n$ sur $]0;+\infty [$.

2. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $\sqrt{x}>\ln x$.

3. Montrer que l'équation $g_n(x)=0$ admet une unique solution ${\alpha }_n$ dans $]0;+\infty [$, et que $\frac{1}{n}<{\alpha }_n<\frac{1}{\sqrt{n}}$. En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\alpha }_n$.