Fonction x + ln|eˣ − 1| et asymptotes obliques

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x+\ln (|e^x-1|)$.

1. Déterminer $D_f$, puis calculer $f(-\ln 2)$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.

2. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f^{\prime }(x)=\frac{2e^x-1}{e^x-1}$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que la droite $(\Delta ):y=2x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$, et étudier la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta )$ sur $]0;+\infty [$.

4. Montrer que la droite $({\Delta }^{\prime }):y=x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.

5. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0;\ln 2[$.