Énoncé Soit g la fonction définie sur I = [ 0 ; + ∞ [ par g ( x ) = 1 − e − 2 1 x − 2 1 x . Montrer que g est strictement décroissante sur [ 0 ; + ∞ [ . Montrer que pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ : x 2 1 − e − 2 1 x − x < − 2 x 1 , puis en déduire x → 0 + lim x 2 1 − e − 2 1 x − x .

Encadrement et limite d'un taux d'accroissement

Difficile

Soit $g$ la fonction définie sur $I = [0; + \infty [$ par $g (x) = 1 - e^{- \frac{1}{2} x} - \frac{1}{2} x$ .

Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ .
Montrer que pour tout $x \in] 0; + \infty [$ : $\frac{1 - e ^{- \frac{1}{2} x} - x}{x ^{2}} < - \frac{1}{2 x}$ , puis en déduire $x \to 0^{+} lim \frac{1 - e ^{- \frac{1}{2} x} - x}{x ^{2}}$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Calcule $g'(x) = \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} - \frac{1}{2}$ et compare $e^{-\frac{1}{2}x}$ à $1$ pour $x \geq 0$.

2 Indice 2

Utilise $g(0)=0$ et la décroissance stricte de $g$ pour en déduire le signe de $g(x)$ pour $x>0$.

3 Indice 3

Divise l'inégalité obtenue par $x^2 > 0$, puis utilise un théorème de comparaison avec $\lim_{x\to 0^+}\left(-\frac{1}{2x}\right)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Calcule $g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2} x} - \frac{1}{2}$ et compare $e^{- \frac{1}{2} x}$ à $1$ pour $x \geq 0$ .

Utilise $g (0) = 0$ et la décroissance stricte de $g$ pour en déduire le signe de $g (x)$ pour $x > 0$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points