On pose I n = 0 ∫ 1 x n ⋅ e x d x pour n ∈ N . Calculer I 0 . Montrer que I n = e − n ⋅ I n − 1 pour n ≥ 1 (relation de récurrence). Calculer I 1 , I 2 , I 3 . Montrer que 0 < I n < n + 1 e pour tout n ≥ 0 . En déduire que n → + ∞ lim n ! ⋅ I n = e − k = 0 ∑ ∞ k ! 1 = 0 (interprétation via l'exponentielle).

Intégrale par parties et suite liée à e<sup>x</sup> (Bac)

Difficile

On pose $I_{n} = 0 \int 1 x^{n} \cdot e^{x} d x$ pour $n \in N$ .

Calculer $I_{0}$ .
Montrer que $I_{n} = e - n \cdot I_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ (relation de récurrence).
Calculer $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ .
Montrer que $0 < I_{n} < \frac{e}{n + 1}$ pour tout $n \geq 0$ .
En déduire que $n \to + \infty lim n! \cdot I_{n} = e - k = 0 \sum \infty \frac{1}{k !} = 0$ (interprétation via l'exponentielle).

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour $I_0$, calcule directement une primitive de $e^x$.

2 Indice 2

Pour la relation de récurrence, applique une intégration par parties avec $u=x^n$ et $v'=e^x$.

3 Indice 3

Pour l'encadrement, majore $e^x$ par $e$ sur $[0,1]$ puis intègre $x^n$ sur cet intervalle.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour $I_{0}$ , calcule directement une primitive de $e^{x}$ .

Pour la relation de récurrence, applique une intégration par parties avec $u = x^{n}$ et $v^{'} = e^{x}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points