Étude complète de f(x) = xe^(1/x) — asymptote oblique (Bac)

Soit f la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)=x\cdot e^{1/x}$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$.
2. Calculer les limites de f en $0^{+}$, $0^{-}$, $+\infty$ et $-\infty$. Déterminer une asymptote oblique éventuelle en $\pm \infty$.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations.
4. Montrer que f est convexe sur $]0,+\infty [$ et concave sur $]-\infty ,0[$.
5. La courbe $C_f$ admet-elle une asymptote oblique en $+\infty$ ? Calculer la position de la courbe par rapport à cette asymptote.