Étude complète d'une fonction avec logarithme — Théorème de Rolle

Difficile Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

On considère la fonction définie sur par , de courbe . Calculer et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de (limites en et ). Montrer que l'équation admet une unique solution sur et la déterminer.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Mets $f'(x)$ au même dénominateur $x$ : tu obtiens $f'(x)=\dfrac{2x^2-4x+4}{x}$. Étudie le signe du numérateur $2(x^2-2x+2)$ en calculant son discriminant.
2 Indice 2
Pour les limites, sépare les termes : en $0^+$ regarde ce que fait $4\ln(x)$, et en $+\infty$ compare la croissance de $x^2$ à celle de $4\ln(x)$.
3 Indice 3
Utilise le théorème de la bijection (TVI + stricte monotonie) pour l'existence et l'unicité de la solution, puis teste une valeur simple comme $x=1$ dans $f$.

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La méthode — par où commencer

Mets au même dénominateur : tu obtiens . Étudie le signe du numérateur en calculant son discriminant.

Pour les limites, sépare les termes : en regarde ce que fait , et en compare la croissance de à celle de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Étude de $f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$ et convexité — Bac France 2024 Tous les exercices du chapitre Étude d'une fonction avec exponentielle — optimisation et tangente