Étude d'une fonction avec exponentielle — optimisation et tangente

Exercice 6 — Fonction exponentielle, point d'inflexion et optimisation

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(x^2-2x+2)\cdot e^{-x}$

et on note $C_f$ sa courbe représentative.

1. Limites et asymptote

   Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. En déduire une asymptote éventuelle à $C_f$.

2. Dérivée et variations

   1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et le simplifier sous la forme $f^{\prime }(x)=A(x)\cdot e^{-x}$ où $A(x)$ est un polynôme à déterminer.
   2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de f.

3. Dérivée seconde et point d'inflexion

   1. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ sous la forme $f^{\prime \prime }(x)=B(x)\cdot e^{-x}$ où $B(x)$ est un polynôme à déterminer.
   2. Montrer que $C_f$ admet un point d'inflexion $I$ dont on précisera les coordonnées. (On rappelle qu'un point d'inflexion est un point où $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe.)

4. Tangente au point d'inflexion

   Écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'inflexion $I$.

5. Situation-problème

   Un ingénieur à Casablanca modélise la consommation électrique journalière (en MWh) d'un quartier par la fonction f ci-dessus, où $x$ représente le nombre d'heures après minuit, restreint à l'intervalle $[0;3]$.

   Déterminer à quel moment de la journée (valeur de $x$ dans $[0;3]$) la consommation est minimale, et donner cette valeur minimale (arrondie à $10^{-2}$ près, sachant que $e\approx 2,718$).