Corde tendue : célérité, points en phase et élongation d'un point

Une corde élastique tendue horizontalement a une longueur $L=1,2\text{m}$ et une masse $m=6,0\text{g}$. Son extrémité $S$ est reliée à un vibreur qui lui impose, à partir de l'instant $t=0$, un mouvement sinusoïdal transversal d'équation $y_S(t)=3,0\times 10^{-3}\sin \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$ (en mètres), de fréquence $N=50\text{Hz}$. La corde est soumise à une tension $F=2,0\text{N}$. La célérité des ondes le long d'une corde est donnée par $v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$, où $\mu$ désigne la masse linéique de la corde. On néglige l'amortissement ainsi que toute réflexion à l'extrémité $B$ de la corde.

1) Calculer la masse linéique $\mu$ de la corde, puis la célérité $v$ des ondes le long de cette corde. 2) Calculer la période $T$ du mouvement et la longueur d'onde $\lambda$. 3) Déterminer le nombre de points de la corde qui vibrent en phase avec la source $S$ (la source elle-même étant exclue). 4) Calculer le retard $\tau$ du mouvement de l'extrémité $B$ par rapport à celui de $S$, écrire l'équation horaire $y_B(t)$ en précisant son domaine de validité, puis calculer l'élongation de $B$ à l'instant $t=65\text{ms}$. 5) On souhaite doubler la longueur d'onde sans modifier la fréquence du vibreur. Déterminer la valeur $F^{\prime }$ de la tension qu'il faudrait alors appliquer à la corde, et commenter le résultat.