Pendule simple : période propre et facteurs d'influence

Un pendule simple est constitué d'un fil inextensible de masse négligeable et de longueur $\ell =0,80\text{m}$, portant à son extrémité une petite bille de masse $m=100\text{g}$. On écarte le pendule de sa position d'équilibre d'un angle faible ${\theta }_m=8^{\circ }$ puis on le lâche sans vitesse initiale. Les frottements sont négligés et on prend $g=9,8{\text{m/s}}^2$. 1) En appliquant la deuxième loi de Newton projetée sur la direction tangentielle, établir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse angulaire $\theta (t)$ dans l'approximation des petites oscillations, puis identifier la pulsation propre ${\omega }_0$. 2) Calculer la période propre $T_0$ et la fréquence $N_0$ des oscillations. 3) Combien d'oscillations complètes ce pendule effectue-t-il en une minute ? 4) Quelle longueur faudrait-il donner au fil pour que la période soit exactement égale à $2,0\text{s}$ (pendule qui « bat la seconde ») ? 5) Le même pendule est transporté sur la Lune, où l'intensité de la pesanteur vaut $g_L=1,6{\text{m/s}}^2$. Calculer sa nouvelle période. La période dépend-elle de la masse de la bille ou de l'amplitude des oscillations ?