De l'équation différentielle à la vitesse maximale

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Énoncé

Un pendule élastique horizontal est constitué d'une masse et d'un ressort de raideur , sur un support sans frottement. On l'écarte de sa position d'équilibre d'une distance puis on le lâche sans vitesse initiale à l'instant . 1) Établir l'équation différentielle vérifiée par l'élongation . 2) Donner la forme de la solution et exprimer la pulsation propre. 3) Calculer la pulsation propre et la fréquence propre. 4) Calculer la vitesse maximale atteinte par la masse et préciser où elle se produit. 5) Que représente la phase à l'origine, et que vaut-elle ici ?

Indices

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1 Indice 1
Applique la deuxième loi de Newton en projection sur l'axe du mouvement : la seule force qui travaille est la tension du ressort, en $-kx$. Mets ensuite l'équation sous la forme $\ddot{x} + \omega_0^{2}x = 0$.
2 Indice 2
L'identification terme à terme donne directement $\omega_0$. Comme le solide part de l'élongation maximale sans vitesse, la phase à l'origine se lit sur la condition initiale $x(0) = X_m$.

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La méthode — par où commencer

Applique la deuxième loi de Newton en projection sur l'axe du mouvement : la seule force qui travaille est la tension du ressort, en . Mets ensuite l'équation sous la forme .

L'identification terme à terme donne directement . Comme le solide part de l'élongation maximale sans vitesse, la phase à l'origine se lit sur la condition initiale .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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