Arrêt à deux tirages identiques : loi du rang d'arrêt

نص التمرين

يحتوي صندوق على $4$ كرات لا يمكن تمييزها باللمس: كرة بيضاء وثلاث كرات حمراء. نسحب عشوائياً كرة، نسجل لونها ونعيدها إلى الصندوق. نكرر هذه العملية حتى نحصل على كرتين متتاليتين من نفس اللون، ثم نتوقف. ليكن $X$ المتغير العشوائي المساوي لرتبة السحب حيث تتوقف التجربة.

1. احسب $P(X=2)$ و $P(X=3)$.

2. بين أنه من أجل $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $P(X=2k)=\frac{5}{8}{\left(\frac{3}{16}\right)}^{k-1}$ و $P(X=2k+1)={\left(\frac{3}{16}\right)}^k$.