Une urne contient 4 boules rouges et 6 bleues. On tire deux boules sans remise. P(2 rouges) ? P(1 rouge | la 1ère est rouge) ?

Machine A (60% de la production, 2% défectueuse), machine B (40%, 4% défectueuse). On choisit une pièce au hasard. P(défectueuse) ?

On dispose des probabilités : P(A)=0,5, P(B)=0,6, P(A$\cup$B)=0,8.

1. Calculer P(A$\cap$B).
2. Calculer P(A|B) et P(B|A).
3. A et B sont-ils indépendants ? Justifier.

Un jeu de hasard proposé lors d'une fête à Marrakech fonctionne de la manière suivante : un joueur lance 4 dés équilibrés simultanément. On appelle X le nombre de dés affichant le chiffre 6.

1. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X\ge 2)$. (Donner des valeurs exactes puis des valeurs approchées à $10^{-3}$.)
3. Les règles du jeu sont les suivantes :
   • Si $X=0$ : le joueur perd 10 dirhams.
   • Si $X=1$ : le joueur gagne 5 dirhams.
   • Si $X\ge 2$ : le joueur gagne 30 dirhams.
   Soit G la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Dresser la loi de probabilité de G.
4. Calculer $E(G)$. Ce jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

Exercice 2 — Contrôle qualité à Casablanca

Une usine de fabrication de pièces mécaniques à Casablanca produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de 20 pièces. On note X le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Calculer, en arrondissant à $10^{-4}$ près :

1. La probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse.
2. La probabilité qu'il y ait exactement 2 pièces défectueuses.
3. La probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse.

3. Calculer l'espérance E(X) et la variance V(X). Interpréter E(X) dans le contexte.

4. On note Y = 3X − 1. Calculer E(Y) et V(Y).

On donne : $0,95^{20}$ ≈ 0,3585 et $0,95^{18}$ ≈ 0,3972.

Dans une fête foraine à Marrakech, un jeu consiste à lancer simultanément deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On note $S$ la somme des deux résultats obtenus.

Les règles du jeu sont les suivantes : le joueur mise $10$ dirhams pour participer.

• Si $S=2$ ou $S=12$, le joueur reçoit $50$ dirhams.
• Si $S$ est un multiple de $6$ (autre que $12$), le joueur reçoit $20$ dirhams.
• Si $S$ est impaire et $S\ge 7$, le joueur reçoit $5$ dirhams.
• Dans tous les autres cas, le joueur ne reçoit rien.

On définit la variable aléatoire $G$ représentant le gain algébrique du joueur (recette moins mise).

1. Déterminer la loi de probabilité de $G$.
2. Calculer $E(G)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
3. On note $Y=2G+10$. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

Exercice 3 — Sélection d'étudiants à Rabat

Dans une école d'ingénieurs à Rabat, une promotion comprend 60 étudiants répartis comme suit :

• 35 étudiants ont suivi un cursus scientifique (S).
• 25 étudiants ont suivi un cursus technologique (T).

Parmi les étudiants scientifiques, 28 ont validé leur stage. Parmi les étudiants technologiques, 15 ont validé leur stage.

On choisit un étudiant au hasard dans la promotion. On note :

• S : « l'étudiant a suivi un cursus scientifique »
• V : « l'étudiant a validé son stage »

Partie A — Probabilités conditionnelles

1. Calculer $P(S)$, $P(V\cap S)$ et $P(V\cap T)$.

2. En déduire $P(V)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

3. Calculer $P(S|V)$ et interpréter ce résultat.

Partie B — Variable aléatoire

On choisit maintenant, successivement et sans remise, 3 étudiants parmi les 60. On note Y le nombre d'étudiants ayant validé leur stage parmi les 3 choisis.

4. Justifier que Y ne suit pas exactement une loi binomiale. Donner néanmoins la loi binomiale $B(n,p)$ qui peut servir d'approximation, en précisant les conditions justifiant cette approximation.

5. En utilisant cette approximation, calculer $P(Y=2)$. Arrondir à $10^{-4}$ près.

Lors d'un sondage réalisé dans une ville marocaine avant des élections municipales, 450 personnes sont interrogées au hasard. Parmi elles, 198 déclarent avoir l'intention de voter pour le candidat A.

1. Calculer la fréquence f observée de personnes favorables au candidat A dans cet échantillon.
2. On admet que la taille de l'échantillon est suffisamment grande pour appliquer l'approximation normale. Construire un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la proportion p de personnes favorables au candidat A dans la population totale. On rappelle que cet intervalle est : $I=[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}]$.
3. Un journaliste affirme que « plus de la moitié des électeurs de cette ville soutiennent le candidat A ». L'intervalle de confiance obtenu permet-il de valider cette affirmation ? Justifier.
4. On souhaite maintenant construire un intervalle de confiance au niveau 99 %. Sans effectuer le calcul complet, indiquer si cet intervalle sera plus large ou plus étroit que celui au niveau 95 %, et expliquer pourquoi.

On donne : $1,96^2\approx 3,84$ ; $2,58^2\approx 6,66$ ; $\sqrt{\frac{0,2464}{450}}\approx 0,0234$.

Dans un lycée de Rabat, une enquête porte sur la pratique sportive et les résultats scolaires des élèves de Terminale. On dispose des données suivantes :

• 60% des élèves pratiquent un sport régulièrement (événement S).
• Parmi les élèves pratiquant un sport, 75% ont une moyenne générale supérieure à 12 (événement M).
• Parmi les élèves ne pratiquant pas de sport, 40% ont une moyenne générale supérieure à 12.

On choisit un élève au hasard dans ce lycée.

1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
2. Calculer la probabilité que l'élève choisi ait une moyenne supérieure à 12.
3. Sachant que l'élève a une moyenne supérieure à 12, quelle est la probabilité qu'il pratique un sport ? (Arrondir à 1$0^{-2}$ près.)
4. Les événements S et M sont-ils indépendants ? Justifier rigoureusement.

Exercice 4 — Poids des oranges de Souss

Le poids (en grammes) des oranges produites dans la région du Souss suit une loi normale de moyenne $\mu =180$ g et d'écart-type $\sigma =20$ g. On note $X$ cette variable aléatoire.

1. Calculer $P(160\le X\le 200)$. Interpréter ce résultat.

2. Calculer $P(X>210)$. (Arrondir à $10^{-4}$.)

3. Déterminer la valeur $a$ telle que $P(X\le a)=0,9772$.

4. Un exportateur prélève un échantillon de $n=400$ oranges et observe que 84 d'entre elles ont un poids inférieur à 150 g. Soit $f$ la fréquence observée de ce caractère dans l'échantillon.

• a) Calculer $f$.
• b) Donner un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la proportion réelle $p$ d'oranges de poids inférieur à 150 g dans la production. (On rappelle que l'intervalle de confiance au niveau 95 % est : $I=[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$.)
• c) La valeur théorique $P(X<150)$ est-elle compatible avec cet intervalle ? Calculer $P(X<150)$ pour répondre.

Exercice 3 — Semences et germination

Un agronome de la région de Rabat effectue des tests sur des semences. La probabilité qu'une semence germe est $p=0,7$. On suppose que les germinations sont indépendantes d'une semence à l'autre. On plante $n=10$ semences.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de semences qui germent.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Calculer les probabilités suivantes (arrondir à $10^{-4}$ près) :

• a) $P(X=7)$
• b) $P(X\ge 9)$
• c) $P(3\le X\le 5)$

3. Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$. Interpréter $E(X)$.

4. On considère la variable aléatoire $Y=2X-3$. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

5. L'agronome affirme qu'il est « très probable » que plus de la moitié des semences germent. Calculer $P(X>5)$ pour vérifier cette affirmation. (Arrondir à $10^{-4}$.)

Un réseau électrique de la ville de Rabat est alimenté par 8 générateurs indépendants. Chaque générateur tombe en panne, de façon indépendante des autres, avec une probabilité p = 0,1 par jour.

On note X le nombre de générateurs en panne un jour donné.

1. Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres, son espérance et sa variance.
2. Calculer la probabilité que au moins deux générateurs soient en panne le même jour. On donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
3. Le réseau fonctionne correctement tant qu'au plus 2 générateurs sont en panne simultanément. Calculer la probabilité que le réseau fonctionne correctement un jour donné.
4. On observe le réseau pendant 30 jours consécutifs. On note Y le nombre de jours où le réseau ne fonctionne pas correctement. Quelle est la loi de Y ? Calculer E(Y) et interpréter.

Dans une ville du Maroc, un laboratoire propose un test de dépistage pour une maladie M. On dispose des informations suivantes :

• La proportion de personnes atteintes par la maladie M dans la population testée est de 2 %.
• Si une personne est atteinte de M, le test est positif avec une probabilité de 0,95.
• Si une personne est saine, le test est positif avec une probabilité de 0,04 (faux positif).

On note :
— M l'événement « la personne est atteinte de la maladie »,
— T l'événement « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

2. Calculer la probabilité qu'une personne tirée au hasard dans cette population ait un test positif. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à 1$0^{-4}$ près.

3. Sachant que le test d'une personne est positif, calculer la probabilité qu'elle soit réellement atteinte de la maladie M. Arrondir à 1$0^{-4}$ près.

4. Le laboratoire affirme que son test est « fiable à plus de 90 % ». Commenter cette affirmation à la lumière du résultat de la question 3.

Un jeu consiste à lancer simultanément deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On note S la somme des deux résultats obtenus.

Un joueur mise 10 dirhams pour participer. Les gains sont définis comme suit :

• Si S = 2 ou S = 12, le joueur gagne 50 dirhams (en plus de récupérer sa mise).
• Si S = 7, le joueur gagne 20 dirhams (en plus de récupérer sa mise).
• Dans tous les autres cas, le joueur perd sa mise.

On note G le gain algébrique du joueur (positif si le joueur gagne, négatif s'il perd).

1. Déterminer la loi de probabilité de G.
2. Calculer l'espérance E(G). Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
3. Calculer la variance V(G) et l'écart-type $\sigma$(G). Arrondir à $10^{-2}$ près.
4. On modifie le gain en cas de S = 7 : il devient c dirhams. Déterminer la valeur de c pour que le jeu soit équitable (E(G) = 0).

Dans une fête foraine à Marrakech, un jeu consiste à lancer deux dés équilibrés à 6 faces. On note S la somme des deux résultats obtenus.

• Si S = 7, le joueur gagne 30 dirhams.
• Si S est un multiple de 3 différent de 7, le joueur gagne 10 dirhams.
• Dans tous les autres cas, le joueur perd 15 dirhams.

On note G le gain algébrique du joueur (en dirhams) lors d'une partie. Le joueur paie 5 dirhams pour participer.

1. Déterminer les probabilités $P(S=7)$, $P(S\text{ est multiple de 3 et }S\ne 7)$ et $P(\text{autre cas})$.
2. Déterminer la loi de probabilité de G (gain net, en tenant compte des 5 dirhams d'entrée).
3. Calculer $E(G)$. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
4. On note $Y=2G+10$. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

Dans une région du Maroc, une étude épidémiologique révèle que 8 % de la population est atteinte d'une certaine maladie. Un test de dépistage est utilisé avec les caractéristiques suivantes :

• Si la personne est malade, le test est positif avec une probabilité de 0,95.
• Si la personne n'est pas malade, le test est positif avec une probabilité de 0,03.

On choisit une personne au hasard dans cette population. On note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « le test est positif ».

1. Calculer la probabilité que le test soit positif, $P(T)$.
2. Sachant que le test est positif, calculer la probabilité que la personne soit réellement malade. Commenter le résultat.
3. On prélève maintenant un échantillon de 15 personnes indépendantes dans cette population. On note X le nombre de personnes dont le test est positif. Justifier que X suit une loi binomiale, préciser ses paramètres, puis calculer $P(X\le 1)$ arrondi à $10^{-4}$.
4. Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité qu'au moins une personne parmi n ait un test positif soit supérieure à 0,99.

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.

• $U_1$ contient $4$ boules rouges et $2$ boules bleues.
• $U_2$ contient $3$ boules rouges et $5$ boules bleues.

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Si le résultat est 1 ou 2, on tire une boule dans $U_1$ ; sinon, on tire une boule dans $U_2$.

On définit les événements :

• $A$ : «on tire dans $U_1$»
• $R$ : «la boule tirée est rouge»

1. Calculer $P(A)$ et $P(\overline{A})$.
2. Calculer $P(R|A)$ et $P(R|\overline{A})$.
3. En déduire $P(R)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
4. Sachant que la boule tirée est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de $U_1$. (Formule de Bayes)
5. Les événements $A$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Une enquête menée auprès d'un échantillon de n = 400 habitants de Rabat révèle que 148 d'entre eux utilisent quotidiennement les transports en commun.

1. Calculer la fréquence f observée dans cet échantillon.
2. On modélise le nombre X d'utilisateurs quotidiens des transports en commun dans un échantillon de 400 personnes par une loi binomiale $B(400;p)$, où p est la proportion réelle dans la population. Donner $E(X)$ et $V(X)$ en fonction de p.
3. Justifier que, pour n = 400 suffisamment grand, on peut approcher la loi de X par une loi normale. Préciser les paramètres de cette loi normale.
4. En utilisant l'approximation normale et le fait que $P(|Z|\le 1,96)\approx 0,95$ pour $Z\sim N(0,1)$, construire un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % pour la proportion p.
   On admettra que l'intervalle de confiance est : $I=\left[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$.
5. Peut-on affirmer, au seuil de 95 %, que la proportion d'utilisateurs quotidiens est différente de 40 % dans la population de Rabat ?

Une usine a $3$ machines $A$, $B$, $C$ qui produisent respectivement $50\%$, $30\%$ et $20\%$ de la production. Les taux de pièces défectueuses sont : $2\%$ pour $A$, $3\%$ pour $B$, $5\%$ pour $C$.

1. Quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?
2. Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine $C$ ?
3. Quelle machine produit le plus de pièces défectueuses ?

On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Soit X la valeur absolue de la différence des résultats.

1. Déterminer les valeurs possibles de X.
2. Construire le tableau de la loi de probabilité de X.
3. Calculer E(X), V(X) et $\sigma$(X).
4. Calculer P(X $\le$ 2).

On note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite $N(0,1)$.

On rappelle que $P(Z\le t)=\Phi (t)$ et $\Phi (-t)=1-\Phi (t)$.

Valeurs utiles : $\Phi (1)\approx 0.841$, $\Phi (1.5)\approx 0.933$, $\Phi (2)\approx 0.977$, $\Phi (2.5)\approx 0.994$

1. Soit $Z\sim N(0,1)$. Calculer $P(Z\le 1.5)$.
2. Calculer $P(Z\ge 1.5)$.
3. Calculer $P(-1\le Z\le 2)$.
4. Soit $X\sim N(3,4)$ ($\mu =3$, ${\sigma }^2=4$). Réduire $X$ et calculer $P(X\le 5)$.
5. Calculer $P(1\le X\le 7)$ pour la même loi $X\sim N(3,4)$.

Un sondage est réalisé auprès d'un échantillon de $n=400$ personnes. On observe que 120 personnes sont favorables à une mesure.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans l'échantillon.
2. Donner l'intervalle de confiance à 95% pour la proportion $p$ dans la population (utiliser la formule : $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}},f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$).
3. Peut-on affirmer, au niveau de confiance 95%, que la proportion dans la population dépasse 25% ?
4. Un autre sondage ($n=1000$) donne $f^{\prime }=0.28$. Calculer le nouvel intervalle de confiance à 95%.
5. Quelle taille d'échantillon minimale faut-il pour que la longueur de l'intervalle soit inférieure à 2% ?

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale $N(\mu ,{\sigma }^2)$ avec $\mu =60$ et $\sigma =10$.

1. Rappeler la variable réduite Z et sa loi.
2. Calculer $P(X\le 70)$. ($\Phi (1)\approx 0.8413$)
3. Calculer $P(50\le X\le 80)$. ($\Phi (2)\approx 0.9772$)
4. Calculer $P(X\ge 65)$. ($\Phi (0.5)\approx 0.6915$)
5. Trouver la valeur t telle que $P(X\le t)=0.975$. ($\Phi (1.96)\approx 0.975$)

On effectue un sondage sur un échantillon de n = 900 personnes. La fréquence observée d'une caractéristique est f = 0.40.

1. Rappeler la formule de l'intervalle de fluctuation au seuil 95%.
2. Calculer l'intervalle de fluctuation pour cet échantillon.
3. La proportion réelle dans la population est-elle estimée contenir la valeur p₀ = 0.36 ?
4. Quel est l'effet d'augmenter la taille de l'échantillon à n = 3 600 sur la largeur de l'intervalle ?

Dans une classe de 40 élèves, 25 étudient les mathématiques, dont 10 sont des filles. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard qui étudie les mathématiques soit une fille ?

Un magasin vend 60% de pommes et 40% de poires. 70% des pommes sont bio et 30% des poires sont bio. Quelle est la probabilité qu'un fruit choisi au hasard soit bio ?

Dans une boîte, il y a 3 boules rouges et 5 boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise. Quelle est la probabilité que les deux boules soient rouges ?

Dans une urne, il y a 3 boules rouges, 2 boules vertes et 5 boules bleues. Si on tire deux boules successivement sans remise, quelle est la probabilité d'obtenir une rouge puis une bleue ?

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ sont des filles et $12$ sont des garçons. Si un élève est choisi au hasard et que c'est une fille, quelle est la probabilité qu'elle soit la première de la classe ? (Il y a $5$ filles en première).

Énoncé

On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces. On note $X$ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs obtenues.

1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma (X)$.

Énoncé

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher portant les numéros $1$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$. On tire successivement et sans remise $2$ boules.

1. On considère l'événement $A$ : « obtenir deux boules portant des numéros pairs ». Montrer que $P(A)=\frac{1}{3}$.
2. On répète cette expérience $3$ fois de suite, en remettant à chaque fois les deux boules dans l'urne. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de $A$.
   1. Montrer que $P(X=1)=\frac{4}{9}$.
   2. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
   3. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

Énoncé

Une école compte $300$ élèves, chacun inscrit à un et un seul club : $60$ au club Cybersécurité (dont $30\%$ de filles), $90$ au club Sport (dont $60\%$ de filles) et $150$ au club Environnement (dont $72\%$ de filles). On choisit un élève au hasard et on considère les événements $F$ « l'élève est une fille », $G$ « l'élève est un garçon », $C_{sc}$, $C_{sp}$, $C_{env}$ d'appartenance respective aux trois clubs.

1. Vérifier que $P(C_{sc})=\frac{1}{5}$, puis calculer $P(C_{sp})$ et $P(C_{env})$.
2. Montrer que $P(F)=\frac{3}{5}$.
3. En déduire $P(G)$.
4. Sachant que l'élève choisi est un garçon, montrer que la probabilité qu'il appartienne au club Environnement est $\frac{7}{20}$.

Énoncé

On lance simultanément deux dés à 6 faces équilibrés. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs obtenues.

1. Établir la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$.

Énoncé

Un sac contient $2n$ boules indiscernables ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) : $n$ blanches et $n$ noires. Une partie consiste à tirer une boule, noter sa couleur, la remettre, puis tirer une seconde boule et noter sa couleur. Règle :

1. deux boules blanches : on gagne 20 points ;
2. deux boules noires : on perd 20 points ;
3. boules de couleurs différentes : gain nul.

1) Calculer la probabilité de gagner 20 points, de perdre 20 points et d'un gain nul.
2) On répète le jeu 5 fois. a) Probabilité de gagner 100 points. b) Probabilité de gagner 40 points (au total).

Énoncé

On lance 10 fois de suite une pièce parfaitement équilibrée. Soit $X$ la fréquence d'apparition de « pile », c'est-à-dire le nombre de « pile » divisé par 10.

1. a) Déterminer les valeurs prises par $X$.
   b) Calculer $P\left(X=\frac{1}{2}\right)$.
2. Calculer $P\left(X\ge \frac{9}{10}\right)$.

Énoncé

On dispose de deux boîtes. La boîte $U$ contient 4 boules rouges et 4 bleues ; la boîte $V$ contient 2 boules rouges et 4 bleues. On tire une boule de $U$ : si elle est rouge, on la met dans $V$ puis on tire une boule de $V$ ; si elle est bleue, on la pose de côté puis on tire une boule de $V$.

On note $R_U,B_U$ (boule de $U$ rouge / bleue) et $R_V,B_V$ (boule de $V$ rouge / bleue).

1. Calculer $P(R_U)$ et $P(B_U)$.
2. a) Calculer $P_{R_U}(B_V)$.
   b) Calculer $P_{B_U}(B_V)$.
3. Montrer que $P(B_V)=\frac{13}{21}$.
4. En déduire $P(R_V)$.

Énoncé

On lance simultanément deux dés cubiques équilibrés à six faces et on note les deux valeurs obtenues. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs.

1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.

2. Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma (X)$.

Énoncé

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher portant les numéros $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4$. On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

1. Soit $A$ : « obtenir deux boules portant des numéros pairs ». Montrer que $P(A)=\frac{1}{3}$.

2. On répète cette expérience trois fois de suite, en remettant à chaque fois les deux boules dans l'urne. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de $A$.

   1. Montrer que $P(X=1)=\frac{4}{9}$.
   2. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
   3. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

Énoncé

Une école compte $300$ élèves répartis dans trois clubs, chaque élève pratiquant une seule activité : $60$ au club Cybersécurité (dont $30\%$ de filles), $90$ au club Sport (dont $60\%$ de filles) et $150$ au club Environnement (dont $72\%$ de filles). On choisit un élève au hasard. On note $F$ : « c'est une fille », $G$ : « c'est un garçon », et $C_{sc}$, $C_{sp}$, $C_{env}$ les événements correspondant à chaque club.

1. Vérifier que $P(C_{sc})=\frac{1}{5}$, puis calculer $P(C_{sp})$ et $P(C_{env})$.

2. Montrer que $P(F)=\frac{3}{5}$.

3. En déduire $P(G)$.

4. Sachant que l'élève choisi est un garçon, montrer que la probabilité qu'il soit inscrit au club Environnement est $\frac{7}{20}$.

Énoncé

Un sac contient $2n$ boules indiscernables au toucher ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) : $n$ blanches et $n$ noires. Un jeu consiste à tirer une boule, noter sa couleur, la remettre dans le sac, puis tirer une seconde boule et noter sa couleur. La règle est : deux blanches $\Rightarrow$ on gagne $20$ points ; deux noires $\Rightarrow$ on perd $20$ points ; couleurs différentes $\Rightarrow$ gain nul.

1. Calculer la probabilité de gagner $20$ points, celle de perdre $20$ points et celle d'un gain nul.

2. On répète le jeu cinq fois. Calculer la probabilité de gagner $100$ points, puis celle de gagner exactement $40$ points.

3. Pour une seule partie, soit $X\in \{-20,0,20\}$ le gain algébrique. Déterminer la loi de $X$ et calculer $E(X)$.

Énoncé

On dispose de deux boîtes. La boîte $U$ contient $4$ boules rouges et $4$ boules bleues ; la boîte $V$ contient $2$ boules rouges et $4$ boules bleues. On tire au hasard une boule de $U$ : si elle est rouge, on la place dans $V$ puis on tire une boule de $V$ ; si elle est bleue, on l'écarte puis on tire une boule de $V$. On note $R_U,B_U$ (boule de $U$ rouge, resp. bleue) et $R_V,B_V$ (boule de $V$ rouge, resp. bleue).

1. Calculer $P(R_U)$ et $P(B_U)$.

2. Calculer $P_{R_U}(B_V)$ et $P_{B_U}(B_V)$.

3. Montrer que $P(B_V)=\frac{13}{21}$.

4. En déduire $P(R_V)$.

Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2 et 3 avec des probabilités respectives de 0.2, 0.5 et 0.3. Calculez l'espérance E(X).

Considérons la même variable aléatoire $X$. Calculez la variance $V(X)$.

Un magasin reçoit en moyenne 4 clients par heure. Quelle est la probabilité qu'il reçoive exactement 2 clients dans une heure ?

Une entreprise de Casablanca a 50 employés avec un salaire moyen de 8000 dirhams et un écart-type de 1500 dirhams. Trouvez l'espérance et la variance des salaires.

Un standard téléphonique reçoit en moyenne 4 appels par heure. Quelle est la probabilité de recevoir exactement 3 appels dans une heure ?

Dans une université, 70% des étudiants sont satisfaits de la qualité de l'enseignement. Si on interroge 50 étudiants, quelle est la probabilité qu'au moins 40 soient satisfaits ?

Une variable aléatoire X a la loi suivante : P(X = 1) = 0.1, P(X = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.4, P(X = 4) = 0.2. Calculez l'espérance E(X).

Considérons la même variable aléatoire X de l'exercice précédent. Calculez la variance V(X).

Dans une enquête, on a trouvé que 60% des personnes interrogées (n=100) soutiennent une mesure. Calculez l'intervalle de confiance à 95% pour cette proportion.

Soit une variable aléatoire X qui prend les valeurs 1, 2 et 3 avec les probabilités P(X=1) = 0,2, P(X=2) = 0,3 et P(X=3) = 0,5. Calculez l'espérance E(X).

Un magasin reçoit en moyenne 5 clients par heure. Quelle est la probabilité qu'il reçoive exactement 3 clients en une heure ?