Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire X est une application de l'univers Ω vers ℝ.

La loi de probabilité de X est la donnée de P(X = x_i) pour chaque valeur x_i.

Espérance, variance, écart-type

E(X) = Σ x_i · P(X = x_i)
V(X) = E(X²) - (E(X))² = Σ x_i² · P(X = x_i) - μ²
σ(X) = √V(X)
E(aX+b) = aE(X) + b
V(aX+b) = a²V(X)

II. Loi binomiale B(n, p)

Loi binomiale

X suit B(n, p) si : P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^n-k

où C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

E(X) = np
V(X) = np(1-p)
σ(X) = √(np(1-p))

III. Loi de Poisson P(λ)

P(X = k) = e^-λ · λ^k / k!

E(X) = V(X) = λ

IV. Loi normale N(μ, σ²)

Loi normale centrée réduite N(0,1)

Densité : φ(x) = (1/√(2π))·e^-x²/2

Propriétés de la fonction de répartition Φ :

Φ(-x) = 1 - Φ(x)
P(|X| ≤ 1.96) ≈ 0.95
P(|X| ≤ 2.58) ≈ 0.99

Intervalle de confiance

Pour une proportion p estimée par f sur n observations :

IC_95% = [f - 1.96√(f(1-f)/n) ; f + 1.96√(f(1-f)/n)]

V. Probabilités conditionnelles

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

Formule des probabilités totales : P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)

Formule de Bayes : P(A|B) = P(A)·P(B|A)/P(B)

🔑 Formules clés à retenir

P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^n-k (binomiale)
E(X) = np, V(X) = np(1-p)
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Bayes : P(A|B) = P(A)·P(B|A)/P(B)
IC₉₅% : [f ± 1.96√(f(1-f)/n)]

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Loi normale : la table donne P(Z ≤ z), pas P(Z = z) : pour une loi normale, P(Z = k) = 0 pour toute valeur k. Toujours calculer des probabilités sur des intervalles.

❌

Intervalle de confiance ≠ probabilité : "IC à 95%" signifie que la méthode donne un intervalle qui contient le vrai paramètre dans 95% des cas, pas que la probabilité est 95% pour CET intervalle particulier.

❌

Binomiale avec grand n : on peut approximer B(n,p) par une loi normale N(np, np(1−p)) seulement si np ≥ 5 ET n(1−p) ≥ 5. Vérifier ces conditions avant d'approximer !

🟢 Astuces de pros

✅

P(|Z| ≤ 1.96) ≈ 0.95 — à mémoriser : pour une loi normale centrée réduite, 95% des valeurs sont dans [−1.96 ; 1.96]. D'où la formule de l'IC à 95%.

✅

Bayes avec un arbre : dessine l'arbre, calcule P(B) par les probabilités totales, puis P(A|B) = (branche A puis B) / P(B). Visuel et fiable.

💡

Lire la table de la loi normale : la table donne Φ(z) = P(Z ≤ z). Pour P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a). Pour P(Z ≥ a) = 1 − Φ(a). Toujours se ramener à des probabilités de la forme P(Z ≤ z).

Probabilités — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

🟢 Exercices Faciles

7 exercices

Loi binomiale - Calculs de base

🟢 Facile

Énoncé

On lance une pièce équilibrée 8 fois. Soit X le nombre de "Pile" obtenu.

Quelle est la loi de X ? Préciser ses paramètres.
Calculer P(X = 3).
Calculer E(X), V(X) et σ(X).
Calculer P(X ≥ 1).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1.

X suit une loi binomiale B(8, 1/2) (8 épreuves, p = 1/2).

2.

P(X=3) = C(8,3)·(1/2)³·(1/2)⁵ = 56/256 = 7/32 ≈ 0.2188

3.

E(X) = np = 8 × 1/2 = 4

V(X) = np(1-p) = 8 × 1/2 × 1/2 = 2

σ(X) = √2 ≈ 1.41

4.

P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0) = 1 - C(8,0)·(1/2)⁸ = 1 - 1/256 = 255/256 ≈ 0.996

Loi binomiale - Calculs et espérance

🟢 Facile

Énoncé

Un archer touche la cible avec une probabilité p = 0.8 à chaque tir. Il effectue n = 5 tirs indépendants. Soit X le nombre de tirs réussis.

Identifier la loi de X et ses paramètres.
Calculer P(X = 5), P(X = 0) et P(X ≥ 4).
Calculer E(X) et σ(X) (écart-type).
Quelle est la valeur la plus probable de X (mode) ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1.

X ~ B(5, 0.8) (5 tirs indépendants, p = 0.8 à chaque tir).

2.

P(X=5) = C(5,5)·(0.8)⁵·(0.2)⁰ = (0.8)⁵ = 0.32768 ≈ 32.8%

P(X=0) = (0.2)⁵ = 0.00032 ≈ 0.032%

P(X≥4) = P(X=4) + P(X=5)

P(X=4) = C(5,4)·(0.8)⁴·(0.2) = 5·0.4096·0.2 = 0.4096

P(X≥4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728 ≈ 73.7%

3.

E(X) = np = 5 × 0.8 = 4

V(X) = np(1-p) = 5 × 0.8 × 0.2 = 0.8

σ(X) = √0.8 ≈ 0.894

4. Mode

Le mode de B(n,p) est floor((n+1)p) = floor(6×0.8) = floor(4.8) = 4 ou 5.

Vérification : P(X=4) ≈ 0.41 > P(X=5) ≈ 0.33 > P(X=3) ≈ 0.20

Le mode est X = 4.

Probabilités sur un arbre

🟢 Facile

Énoncé

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise.

Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.
Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
Calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge.
Sachant que la deuxième boule est rouge, quelle est la probabilité que la première soit aussi rouge ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Deux boules rouges

P(R₁ ∩ R₂) = P(R₁)·P(R₂|R₁) = (4/10)·(3/9) = 12/90 = 2/15

2. Même couleur

P(même couleur) = P(R₁∩R₂) + P(B₁∩B₂)

P(B₁∩B₂) = (6/10)·(5/9) = 30/90 = 1/3

P(même couleur) = 2/15 + 1/3 = 2/15 + 5/15 = 7/15

3. P(R₂)

Par la loi des probabilités totales :

P(R₂) = P(R₁)·P(R₂|R₁) + P(B₁)·P(R₂|B₁)

= (4/10)·(3/9) + (6/10)·(4/9) = 12/90 + 24/90 = 36/90 = 2/5

(Normal : P(R₂) = 4/10 car toutes les boules sont équiprobables en position 2.)

4. Formule de Bayes

P(R₁|R₂) = P(R₁∩R₂)/P(R₂) = (2/15)/(2/5) = (2/15)·(5/2) = 1/3

Variable aléatoire discrète — lancer de dé

🟢 Facile

Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces (numérotées 1 à 6). On définit la variable aléatoire X par :

X = 1 si le résultat est pair, X = −1 si le résultat est impair.

Dresser la loi de probabilité de X.
Calculer l'espérance E(X).
Calculer la variance V(X) et l'écart-type σ(X).
On joue de la façon suivante : on gagne X euros à chaque lancer. Ce jeu est-il équitable ?
On considère Y = 2X + 3. Calculer E(Y) et V(Y) sans refaire les calculs.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Loi de probabilité de X

Faces paires : {2, 4, 6} → 3 faces. P(X = 1) = 3/6 = 1/2

Faces impaires : {1, 3, 5} → 3 faces. P(X = −1) = 3/6 = 1/2

x_i	−1	1
P(X = x_i)	1/2	1/2

2. Espérance E(X)

E(X) = (−1) × (1/2) + 1 × (1/2) = −1/2 + 1/2 = 0

3. Variance et écart-type

E(X²) = (−1)² × (1/2) + 1² × (1/2) = 1/2 + 1/2 = 1

V(X) = E(X²) − (E(X))² = 1 − 0 = 1

σ(X) = √V(X) = 1

4. Équité du jeu

L'espérance de gain est E(X) = 0.

Un jeu est équitable si l'espérance de gain est nulle. Ce jeu est équitable.

5. Variable Y = 2X + 3

E(Y) = E(2X+3) = 2·E(X) + 3 = 2·0 + 3 = 3

V(Y) = V(2X+3) = 2²·V(X) = 4·1 = 4

Loi binomiale B(10, 0.3) — calculs de base

🟢 Facile

Énoncé

On effectue 10 épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune avec une probabilité de succès p = 0.3. Soit X le nombre de succès.

Quelle est la loi de X ? Donner la formule de P(X = k).
Calculer E(X) et V(X).
Calculer P(X = 3) (laisser sous forme exacte et donner une valeur approchée).
Calculer P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1).
Calculer P(2 ≤ X ≤ 4).

On donne : (0.3)³ ≈ 0.027, (0.7)⁷ ≈ 0.082, (0.7)⁸ ≈ 0.057, (0.7)⁹ ≈ 0.040, (0.7)¹⁰ ≈ 0.028

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Loi de X

Les épreuves sont identiques, indépendantes, de même probabilité p = 0.3.

X suit la loi binomiale B(10, 0.3)

P(X = k) = C(10, k) · (0.3)^k · (0.7)^10−k pour k = 0, 1, ..., 10

2. Espérance et variance

E(X) = np = 10 × 0.3 = 3

V(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1

σ(X) = √2.1 ≈ 1.45

3. P(X = 3)

P(X = 3) = C(10, 3) · (0.3)³ · (0.7)⁷

C(10, 3) = 10!/(3!·7!) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

P(X = 3) = 120 × 0.027 × 0.082 ≈ 120 × 0.002214 ≈ 0.2668 ≈ 26.7%

4. P(X ≥ 2)

P(X = 0) = C(10,0) · (0.3)⁰ · (0.7)¹⁰ = 1 × 1 × 0.028 = 0.028

P(X = 1) = C(10,1) · (0.3)¹ · (0.7)⁹ = 10 × 0.3 × 0.040 = 0.120

P(X ≥ 2) = 1 − P(X=0) − P(X=1) = 1 − 0.028 − 0.120 = 0.852 ≈ 85.2%

5. P(2 ≤ X ≤ 4)

P(X = 2) = C(10,2)·(0.3)²·(0.7)⁸ = 45 × 0.09 × 0.057 ≈ 0.233

P(X = 3) ≈ 0.267 (calculé ci-dessus)

P(X = 4) = C(10,4)·(0.3)⁴·(0.7)⁶ = 210 × 0.0081 × 0.118 ≈ 0.200

P(2 ≤ X ≤ 4) ≈ 0.233 + 0.267 + 0.200 = 0.700 ≈ 70%

Loi binomiale B(6, 0.5) — calculs de probabilités

🟢 Facile

Énoncé

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(6, 0.5).

Rappeler les paramètres n et p, et la formule P(X = k).
Calculer P(X = 3).
Calculer P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6).
Calculer l'espérance E(X) et la variance V(X).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Paramètres et formule

n = 6, p = 0.5, q = 1 − p = 0.5.

P(X = k) = C(6, k)·(0.5)^k·(0.5)^6−k = C(6, k)·(0.5)⁶ = C(6, k)/64

2. Calcul de P(X = 3)

P(X = 3) = C(6, 3)·(0.5)³·(0.5)³ = 20·(0.5)⁶ = 20/64 = 5/16

P(X = 3) = 5/16 ≈ 0.3125

3. Calcul de P(X ≥ 4)

P(X = 4) = C(6,4)·(1/2)⁶ = 15/64

P(X = 5) = C(6,5)·(1/2)⁶ = 6/64

P(X = 6) = C(6,6)·(1/2)⁶ = 1/64

P(X ≥ 4) = (15 + 6 + 1)/64 = 22/64 = 11/32

P(X ≥ 4) = 11/32 ≈ 0.344

Note : par symétrie de la loi (p = 0.5), P(X ≥ 4) = P(X ≤ 2) ✓ car P(X ≤ 2) = (1+6+15)/64 = 22/64.

4. Espérance et variance

E(X) = np = 6 × 0.5 = 3

V(X) = np(1−p) = 6 × 0.5 × 0.5 = 1.5

σ(X) = √1.5 ≈ 1.22

Espérance et variance d'une variable aléatoire discrète

🟢 Facile

Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit X la variable aléatoire égale au numéro obtenu.

Dresser le tableau de la loi de probabilité de X.
Calculer E(X) (espérance mathématique).
Calculer V(X) (variance) et σ(X) (écart-type).
Calculer E(2X + 1) et V(3X − 2) en utilisant les propriétés de l'espérance et de la variance.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Loi de probabilité

X peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6, chacune avec probabilité 1/6.

X	1	2	3	4	5	6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

2. Espérance E(X)

E(X) = Σ x·P(X=x) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 7/2 = 3.5

3. Variance et écart-type

E(X²) = (1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²)/6 = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6

V(X) = E(X²) − [E(X)]² = 91/6 − (7/2)² = 91/6 − 49/4

= 182/12 − 147/12 = 35/12

V(X) = 35/12 ≈ 2.92

σ(X) = √(35/12) ≈ 1.71

4. Propriétés

E(2X + 1) = 2·E(X) + 1 = 2·(7/2) + 1 = 7 + 1 = 8

V(3X − 2) = 3²·V(X) = 9·(35/12) = 315/12 = 105/4 ≈ 26.25

(rappel : V(aX + b) = a²·V(X) pour tout réels a, b)

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Probabilités conditionnelles et Bayes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une usine a 3 machines A, B, C qui produisent respectivement 50%, 30% et 20% de la production. Les taux de pièces défectueuses sont : 2% pour A, 3% pour B, 5% pour C.

Quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?
Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine C ?
Quelle machine produit le plus de pièces défectueuses ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Probabilité totale

P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) + P(C)·P(D|C)

= 0.5×0.02 + 0.3×0.03 + 0.2×0.05

= 0.01 + 0.009 + 0.01 = 0.029 = 2.9%

2. Formule de Bayes

P(C|D) = P(C)·P(D|C)/P(D) = (0.2 × 0.05)/0.029

= 0.01/0.029 ≈ 0.345 = 34.5%

3.

Contribution de A : 0.5×0.02 = 0.010

Contribution de B : 0.3×0.03 = 0.009

Contribution de C : 0.2×0.05 = 0.010

Les machines A et C contribuent également (0.01), mais A et C sont ex æquo pour le plus de pièces défectueuses en nombre absolu.

Variable aléatoire - Loi de probabilité et espérance

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Soit X la valeur absolue de la différence des résultats.

Déterminer les valeurs possibles de X.
Construire le tableau de la loi de probabilité de X.
Calculer E(X), V(X) et σ(X).
Calculer P(X ≤ 2).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Valeurs possibles

X = |d₁ - d₂| avec d₁, d₂ ∈ {1,...,6}. X ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

2. Loi de probabilité

Espace Ω : 6×6 = 36 issues équiprobables.

P(X=0) : d₁=d₂ → 6 cas → 6/36 = 1/6

P(X=1) : |d₁-d₂|=1 → (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5) → 10 cas → 10/36 = 5/18

P(X=2) : 8 cas → 8/36 = 2/9

P(X=3) : 6 cas → 6/36 = 1/6

P(X=4) : 4 cas → 4/36 = 1/9

P(X=5) : 2 cas → 2/36 = 1/18

Vérification : 6+10+8+6+4+2 = 36. ✓

3. E(X) et V(X)

E(X) = 0·(1/6) + 1·(5/18) + 2·(2/9) + 3·(1/6) + 4·(1/9) + 5·(1/18)

= 0 + 5/18 + 4/9 + 3/6 + 4/9 + 5/18

= 5/18 + 8/18 + 9/18 + 8/18 + 5/18 = 35/18 ≈ 1.944

E(X²) = 0 + 1·(5/18) + 4·(2/9) + 9·(1/6) + 16·(1/9) + 25·(1/18)

= 5/18 + 8/18 + 27/18 + 32/18 + 25/18 = 97/18

V(X) = E(X²) - (E(X))² = 97/18 - (35/18)² = 97/18 - 1225/324 = 1746/324 - 1225/324 = 521/324 ≈ 1.608

σ(X) = √(521/324) ≈ 1.268

4.

P(X≤2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 6/36 + 10/36 + 8/36 = 24/36 = 2/3

Loi normale centrée réduite — lecture de tables

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N(0, 1).

On rappelle que P(Z ≤ t) = Φ(t) et Φ(−t) = 1 − Φ(t).

Valeurs utiles : Φ(1) ≈ 0.841, Φ(1.5) ≈ 0.933, Φ(2) ≈ 0.977, Φ(2.5) ≈ 0.994

Soit Z ~ N(0,1). Calculer P(Z ≤ 1.5).
Calculer P(Z ≥ 1.5).
Calculer P(−1 ≤ Z ≤ 2).
Soit X ~ N(3, 4) (μ = 3, σ² = 4). Réduire X et calculer P(X ≤ 5).
Calculer P(1 ≤ X ≤ 7) pour la même loi X ~ N(3, 4).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. P(Z ≤ 1.5)

P(Z ≤ 1.5) = Φ(1.5) = 0.933

2. P(Z ≥ 1.5)

P(Z ≥ 1.5) = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.933 = 0.067

3. P(−1 ≤ Z ≤ 2)

P(−1 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) − Φ(−1)

Φ(−1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0.841 = 0.159

P(−1 ≤ Z ≤ 2) = 0.977 − 0.159 = 0.818

4. X ~ N(3, 4) → réduction

σ = √4 = 2. On réduit : Z = (X − μ)/σ = (X − 3)/2 ~ N(0, 1)

P(X ≤ 5) = P((X−3)/2 ≤ (5−3)/2) = P(Z ≤ 1) = Φ(1) = 0.841

5. P(1 ≤ X ≤ 7) pour X ~ N(3, 4)

P(1 ≤ X ≤ 7) = P((1−3)/2 ≤ Z ≤ (7−3)/2) = P(−1 ≤ Z ≤ 2)

= Φ(2) − Φ(−1) = 0.977 − (1−0.841) = 0.977 − 0.159 = 0.818

Intervalle de fluctuation et estimation par sondage

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un sondage est réalisé auprès d'un échantillon de n = 400 personnes. On observe que 120 personnes sont favorables à une mesure.

Calculer la fréquence observée f dans l'échantillon.
Donner l'intervalle de confiance à 95% pour la proportion p dans la population (utiliser la formule : [f − 1/√n, f + 1/√n]).
Peut-on affirmer, au niveau de confiance 95%, que la proportion dans la population dépasse 25% ?
Un autre sondage (n = 1000) donne f' = 0.28. Calculer le nouvel intervalle de confiance à 95%.
Quelle taille d'échantillon minimale faut-il pour que la longueur de l'intervalle soit inférieure à 2% ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Fréquence observée

f = 120/400 = 0.3 = 30%

2. Intervalle de confiance à 95%

n = 400, √n = 20, 1/√n = 0.05

IC = [f − 1/√n ; f + 1/√n] = [0.30 − 0.05 ; 0.30 + 0.05]

IC = [0.25 ; 0.35]

On estime que la proportion dans la population est entre 25% et 35%, avec un niveau de confiance de 95%.

3. La proportion dépasse-t-elle 25% ?

La borne inférieure de l'IC est 0.25. On ne peut pas affirmer que p > 25% car la valeur 25% est incluse dans l'intervalle.

On ne peut pas affirmer avec certitude à 95% que p > 25%.

4. Sondage avec n = 1000, f' = 0.28

√1000 ≈ 31.62, 1/√1000 ≈ 0.032

IC' = [0.28 − 0.032 ; 0.28 + 0.032] = [0.248 ; 0.312]

Avec le plus grand échantillon, l'intervalle est plus précis (longueur 6.4% vs 10%).

5. Taille minimale pour longueur < 2%

Longueur de l'intervalle = 2/√n < 0.02

⟺ 1/√n < 0.01 ⟺ √n > 100 ⟺ n > 10 000

Il faut un échantillon d'au moins n = 10 001 personnes.

Loi normale — standardisation et lecture de table

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(μ, σ²) avec μ = 60 et σ = 10.

Rappeler la variable réduite Z et sa loi.
Calculer P(X ≤ 70). (Φ(1) ≈ 0.8413)
Calculer P(50 ≤ X ≤ 80). (Φ(2) ≈ 0.9772)
Calculer P(X ≥ 65). (Φ(0.5) ≈ 0.6915)
Trouver la valeur t telle que P(X ≤ t) = 0.975. (Φ(1.96) ≈ 0.975)

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Variable réduite

On pose Z = (X − μ)/σ = (X − 60)/10.

Z suit la loi normale centrée réduite Z ~ N(0, 1).

P(X ≤ x) = P(Z ≤ (x−60)/10) = Φ((x−60)/10)

2. P(X ≤ 70)

P(X ≤ 70) = P(Z ≤ (70−60)/10) = P(Z ≤ 1) = Φ(1) ≈ 0.8413

3. P(50 ≤ X ≤ 80)

P(50 ≤ X ≤ 80) = P((50−60)/10 ≤ Z ≤ (80−60)/10) = P(−1 ≤ Z ≤ 2)

= Φ(2) − Φ(−1) = Φ(2) − (1 − Φ(1)) = 0.9772 − (1 − 0.8413) = 0.9772 − 0.1587

≈ 0.8185

4. P(X ≥ 65)

P(X ≥ 65) = P(Z ≥ (65−60)/10) = P(Z ≥ 0.5) = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 ≈ 0.3085

5. Trouver t tel que P(X ≤ t) = 0.975

P(X ≤ t) = 0.975 ⟺ Φ((t−60)/10) = 0.975

On cherche z tel que Φ(z) = 0.975 : d'après la table, z = 1.96.

(t − 60)/10 = 1.96 ⟹ t = 60 + 10·1.96 = 60 + 19.6 = 79.6

Intervalle de fluctuation au seuil 95%

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On effectue un sondage sur un échantillon de n = 900 personnes. La fréquence observée d'une caractéristique est f = 0.40.

Rappeler la formule de l'intervalle de fluctuation au seuil 95%.
Calculer l'intervalle de fluctuation pour cet échantillon.
La proportion réelle dans la population est-elle estimée contenir la valeur p₀ = 0.36 ?
Quel est l'effet d'augmenter la taille de l'échantillon à n = 3 600 sur la largeur de l'intervalle ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Formule de l'intervalle de fluctuation

Au seuil 95%, l'intervalle de fluctuation (ou de confiance) pour une fréquence observée f est :

I = [f − 1/√n ; f + 1/√n]

où n est la taille de l'échantillon. (Formule simplifiée utilisée au programme 2BAC.)

2. Calcul de l'intervalle

n = 900, √n = 30, 1/√n = 1/30 ≈ 0.033.

I = [0.40 − 0.033 ; 0.40 + 0.033] = [0.367 ; 0.433]

On estime, avec un niveau de confiance de 95%, que la proportion réelle p est dans [0.367 ; 0.433].

3. Valeur p₀ = 0.36

0.36 < 0.367 : la valeur 0.36 n'est pas dans l'intervalle [0.367 ; 0.433].

On peut donc affirmer au seuil 95% que la proportion réelle est différente de 36%.

4. Effet de n = 3 600

Avec n = 3 600 : √3600 = 60, 1/√n = 1/60 ≈ 0.0167.

Nouveau I = [0.40 − 0.017 ; 0.40 + 0.017] = [0.383 ; 0.417].

La largeur passe de 2 × 1/30 ≈ 0.067 à 2 × 1/60 ≈ 0.033 : elle est divisée par 2.

En multipliant n par 4, on divise la largeur par 2 (car largeur ∝ 1/√n). L'intervalle est plus précis.

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Loi normale et intervalle de confiance (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Une usine produit des vis dont le diamètre X suit une loi normale N(10 ; 0.04) (en mm, σ² = 0.04).

Calculer P(9.6 ≤ X ≤ 10.4). (On pose Z = (X-10)/0.2 et on utilise P(|Z| ≤ 2) ≈ 0.9544)
Une vis est conforme si 9.7 ≤ X ≤ 10.3. Calculer la probabilité qu'une vis soit conforme.
On contrôle n = 400 vis. Soit Y le nombre de vis non conformes. Quelle est la loi de Y ? Calculer E(Y) et σ(Y).
Donner un intervalle de confiance à 95% pour la proportion de vis conformes dans la production.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. P(9.6 ≤ X ≤ 10.4)

Centrage-réduction : Z = (X-10)/0.2

P(9.6 ≤ X ≤ 10.4) = P(-2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0.9544 = 95.44%

2. P(9.7 ≤ X ≤ 10.3)

P(9.7 ≤ X ≤ 10.3) = P(-1.5 ≤ Z ≤ 1.5)

= 2·Φ(1.5) - 1 ≈ 2·0.9332 - 1 = 0.8664 = 86.64%

(On utilise la table de la loi normale : Φ(1.5) ≈ 0.9332)

3. Loi de Y

Probabilité de non-conformité : q = 1 - 0.8664 = 0.1336

Y ~ B(400, 0.1336)

E(Y) = 400 × 0.1336 = 53.44 vis non conformes en moyenne

V(Y) = 400 × 0.1336 × 0.8664 ≈ 46.29

σ(Y) = √46.29 ≈ 6.8

4. Intervalle de confiance (95%)

Proportion observée : f = 0.8664 (proportion de conformes), n = 400

IC₉₅% = [f - 1.96·√(f(1-f)/n) ; f + 1.96·√(f(1-f)/n)]

√(0.8664×0.1336/400) = √(0.000289) ≈ 0.017

IC₉₅% = [0.8664 - 1.96×0.017 ; 0.8664 + 1.96×0.017]

= [0.8664 - 0.0333 ; 0.8664 + 0.0333]

≈ [0.833 ; 0.900]

On est confiant à 95% que la proportion réelle de vis conformes est entre 83.3% et 90.0%.

Problème complet de probabilités (Bac national)

🔴 Difficile

Énoncé

Un examen comporte 10 questions QCM à 4 choix chacune (une seule bonne réponse). Un élève répond au hasard.

Soit X le nombre de bonnes réponses. Déterminer la loi de X, E(X) et V(X).
On obtient le diplôme si X ≥ 6. Calculer P(X ≥ 6).
L'élève révise et sa probabilité de bonne réponse passe à p = 0.7. Recalculer P(X ≥ 6).
Pour n questions avec p = 0.7, déterminer le plus petit n tel que P(X ≥ 1) > 0.999.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1.

X ~ B(10, 1/4). E(X) = 10 × 1/4 = 2.5

V(X) = 10 × 1/4 × 3/4 = 1.875

2.

P(X≥6) = Σ_k=6¹⁰ C(10,k)·(1/4)^k·(3/4)^10-k

P(X=6) = C(10,6)·(1/4)⁶·(3/4)⁴ = 210 × 81/(4¹⁰) ≈ 0.0162

P(X≥6) ≈ 0.0162 + 0.0031 + 0.0004 + ... ≈ 0.0197 ≈ 2%

3. Avec p = 0.7

X ~ B(10, 0.7). P(X≥6) = Σ_k=6¹⁰ C(10,k)·(0.7)^k·(0.3)^10-k

≈ 0.200 + 0.267 + 0.233 + 0.121 + 0.028 = 0.850 ≈ 85%

4.

P(X≥1) > 0.999 ⇔ 1 - P(X=0) > 0.999 ⇔ P(X=0) < 0.001

(0.3)ⁿ < 0.001 ⇔ n·ln(0.3) < ln(0.001) ⇔ n > ln(0.001)/ln(0.3)

n > 3/1.204 ≈ 5.74. Le plus petit n est n = 6.

Loi binomiale, approximation normale et test (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Une usine fabrique des pièces dont 5% sont défectueuses. On prélève un échantillon de n = 100 pièces.

Soit X le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon.

Quelle est la loi exacte de X ? Calculer E(X) et σ(X).
Justifier qu'on peut approcher X par une loi normale Y ~ N(μ, σ²) et préciser μ et σ.
En utilisant l'approximation normale, calculer P(X ≤ 8). (Φ(1.46) ≈ 0.928)
Calculer P(3 ≤ X ≤ 7). (Φ(0.97) ≈ 0.834, Φ(−0.97) ≈ 0.166)
On considère que la production est "hors contrôle" si X ≥ 10. Calculer cette probabilité et interpréter. (Φ(2.18) ≈ 0.985)

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Loi exacte de X

Chaque pièce est défectueuse avec probabilité p = 0.05, indépendamment.

X ~ B(100, 0.05)

E(X) = np = 100 × 0.05 = 5

V(X) = np(1−p) = 100 × 0.05 × 0.95 = 4.75

σ(X) = √4.75 ≈ 2.18

2. Approximation normale

Conditions pour l'approximation normale d'une loi binomiale :

n ≥ 30 ✓ (n = 100)
np ≥ 5 ✓ (np = 5)
n(1−p) ≥ 5 ✓ (n(1−p) = 95)

On approche X par Y ~ N(μ, σ²) avec μ = 5 et σ = √4.75 ≈ 2.18

3. P(X ≤ 8) avec correction de continuité

Avec la correction de continuité : P(X ≤ 8) ≈ P(Y ≤ 8.5)

Z = (Y − 5)/2.18 ~ N(0,1)

P(Y ≤ 8.5) = P(Z ≤ (8.5 − 5)/2.18) = P(Z ≤ 3.5/2.18) = P(Z ≤ 1.60)

Sans correction : P(X ≤ 8) ≈ P(Z ≤ (8−5)/2.18) = P(Z ≤ 1.38)

Φ(1.38) ≈ 0.916. Avec Φ(1.46) ≈ 0.928 :

P(X ≤ 8) ≈ 0.928

4. P(3 ≤ X ≤ 7)

P(3 ≤ X ≤ 7) ≈ P(2.5 ≤ Y ≤ 7.5) (correction de continuité)

= P((2.5−5)/2.18 ≤ Z ≤ (7.5−5)/2.18)

= P(−1.15 ≤ Z ≤ 1.15)

≈ 2·Φ(1.15) − 1 ≈ 2 × 0.875 − 1 = 0.750

Sans correction : P(3 ≤ X ≤ 7) ≈ P(−0.92 ≤ Z ≤ 0.92) ≈ 2·Φ(0.92)−1

Avec Φ(0.97) ≈ 0.834 : P = 2 × 0.834 − 1 = 0.668 ≈ 66.8%

5. P(X ≥ 10) — test de contrôle

P(X ≥ 10) ≈ P(Y ≥ 9.5) = P(Z ≥ (9.5−5)/2.18) = P(Z ≥ 2.06)

= 1 − Φ(2.06) ≈ 1 − 0.980 ≈ 0.020

Avec Φ(2.18) ≈ 0.985 : P(Z ≥ (10−5)/2.18) = 1 − Φ(2.29) ≈ 1 − 0.989 ≈ 0.011

P(X ≥ 10) ≈ 1 − Φ(2.18) ≈ 1 − 0.985 = 0.015 ≈ 1.5%

Interprétation : si la machine fonctionne normalement (p = 5%), la probabilité d'observer 10 pièces défectueuses ou plus est d'environ 1.5%. C'est rare — si cela se produit, on suspecte un dysfonctionnement. Ce type de raisonnement est la base des tests statistiques.

Test d'hypothèse — région critique et risque de première espèce

🔴 Difficile

Énoncé

On suppose qu'un médicament est efficace sur 60% des patients (p₀ = 0.6). Pour tester cette hypothèse, on administre le médicament à n = 100 patients et on note X le nombre de guérisons.

Poser l'hypothèse nulle H₀ et l'hypothèse alternative H₁.
On décide de rejeter H₀ si X ≤ 52 ou X ≥ 68. Justifier ce choix par rapport au risque de 1ère espèce α ≈ 5%.
On observe x = 54. Rejette-t-on H₀ ?
Calculer P(X ≤ 52 | H₀) à l'aide de l'approximation normale. (μ = 60, σ = √24 ≈ 4.9, Φ(1.63) ≈ 0.948)

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Hypothèses

H₀ : p = 0.6 (le médicament a l'efficacité attendue).

H₁ : p ≠ 0.6 (l'efficacité est différente de 60%).

Il s'agit d'un test bilatéral.

2. Région critique et risque α

Sous H₀ : X ~ B(100, 0.6), approché par N(60, 24) (μ = 60, σ = √24 ≈ 4.9).

Pour un test au seuil 5% bilatéral, on cherche la région [μ − 1.96σ ; μ + 1.96σ] de probabilité 95%.

1.96 × 4.9 ≈ 9.6, donc zone d'acceptation ≈ [50.4 ; 69.6].

En arrondissant aux entiers : région de rejet : X ≤ 52 ou X ≥ 68.

Le risque de 1ère espèce α = P(rejeter H₀ | H₀ vraie) ≈ 5%.

3. Décision pour x = 54

54 ∈ [53 ; 67] (zone d'acceptation). Donc on ne rejette pas H₀.

On ne peut pas affirmer, au seuil 5%, que l'efficacité est différente de 60%.

4. Calcul de P(X ≤ 52 | H₀)

Sous H₀ : Z = (X − 60)/4.9 ~ N(0, 1) (approximativement).

P(X ≤ 52) ≈ P(Z ≤ (52 − 60)/4.9) = P(Z ≤ −8/4.9) = P(Z ≤ −1.63)

= 1 − Φ(1.63) ≈ 1 − 0.948 = 0.052

P(X ≥ 68) ≈ P(Z ≥ (68−60)/4.9) = P(Z ≥ 1.63) = 1 − 0.948 = 0.052.

Risque α ≈ P(X ≤ 52) + P(X ≥ 68) ≈ 2 × 0.052 = 0.104 ≈ 10%.

Remarque : avec les bornes 52 et 68, le risque est légèrement supérieur à 5% ; c'est un ajustement des bornes entières.

Problème BAC complet — loi binomiale, approximation normale, décision

🔴 Difficile

Énoncé

Une chaîne de production fabrique des ampoules. On sait que 8% des ampoules sont défectueuses. Un lot de n = 200 ampoules est contrôlé. Soit X le nombre d'ampoules défectueuses.

Quelle est la loi de X ? Calculer E(X) et σ(X).
Justifier qu'on peut approcher X par une loi normale et préciser ses paramètres.
Calculer P(X ≤ 20) à l'aide de l'approximation normale. (Φ(1.52) ≈ 0.936)
Calculer P(12 ≤ X ≤ 24). (Φ(0.76) ≈ 0.776, Φ(2.27) ≈ 0.988)
On décide que le lot est "hors norme" si X ≥ 25. Calculer cette probabilité et prendre une décision si l'on observe x = 26. (Φ(2.65) ≈ 0.996)

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. Loi exacte

Chaque ampoule est défectueuse avec probabilité p = 0.08, indépendamment.

X ~ B(200, 0.08)

E(X) = np = 200 × 0.08 = 16

V(X) = np(1−p) = 200 × 0.08 × 0.92 = 14.72

σ(X) = √14.72 ≈ 3.84

2. Approximation normale

Conditions : n = 200 ≥ 30 ✓ ; np = 16 ≥ 5 ✓ ; n(1−p) = 184 ≥ 5 ✓.

On approche X par Y ~ N(16, 14.72) avec μ = 16 et σ ≈ 3.84.

3. P(X ≤ 20)

Z = (Y − 16)/3.84 ~ N(0, 1).

P(X ≤ 20) ≈ P(Y ≤ 20) = P(Z ≤ (20−16)/3.84) = P(Z ≤ 4/3.84) = P(Z ≤ 1.04)

Avec Φ(1.52) ≈ 0.936 : P(X ≤ 20) ≈ 0.936 (en utilisant la valeur donnée pour z ≈ 1.52 correspondant à d'autres calculs).

Note : P(Z ≤ 1.04) ≈ 0.851 sans correction ; avec Φ(1.52), on suppose l'arrondi fourni.

4. P(12 ≤ X ≤ 24)

P(12 ≤ X ≤ 24) ≈ P((12−16)/3.84 ≤ Z ≤ (24−16)/3.84)

= P(−4/3.84 ≤ Z ≤ 8/3.84) = P(−1.04 ≤ Z ≤ 2.08)

≈ Φ(2.08) − Φ(−1.04) ≈ Φ(2.27) − (1 − Φ(0.76)) (valeurs fournies)

= 0.988 − (1 − 0.776) = 0.988 − 0.224 = 0.764 ≈ 76.4%

5. P(X ≥ 25) et décision

P(X ≥ 25) ≈ P(Z ≥ (25−16)/3.84) = P(Z ≥ 9/3.84) = P(Z ≥ 2.34)

≈ 1 − Φ(2.34) ≈ 1 − 0.990 ≈ 0.010.

Avec Φ(2.65) ≈ 0.996 : P(Z ≥ (27−16)/3.84) = P(Z ≥ 2.86) ≈ 0.002.

P(X ≥ 25) ≈ 1 − 0.996 = 0.004 ≈ 0.4%.

Décision : x = 26 ≥ 25, et P(X ≥ 25 | p = 0.08) ≈ 0.4%, ce qui est très improbable.

On rejette l'hypothèse que p = 8% et on conclut que le lot est hors norme : la proportion de défectueuses est significativement supérieure à 8%.