Soit $z_1=3+2i$ et $z_2=1-4i$.

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\cdot z_2$.
2. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $z$${}_1$.
3. Calculer $z_1/z_2$ (mettre sous forme algébrique).
4. Résoudre $z^2=-9$.

1. Mettre sous forme algébrique a + bi :

1. $(2+3i)(1-i)$
2. $(1+i)/(2-i)$
3. $(1+i{)}^2$ - $(1-i{)}^2$
4. $i^3$ + $i^4$ + $i^5$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2$ + $2z$ + $5=0$.

3. Trouver les racines carrées de $z=3+4i$.

1. Mettre sous forme exponentielle $r\cdot e^{i\theta }$ les complexes suivants :

1. $z_1=-1+i$
2. $z_2=-\sqrt{3}-i$
3. $z_3=-4$ (réel négatif)

2. Calculer $|z_1\cdot z_2|$ et $\arg (z_1/z_2)$.

3. En utilisant $z_1=\sqrt{2}\cdot e^{i3\pi /4}$, calculer $z_1^8$.

Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module, un argument, puis écrire la forme trigonométrique et exponentielle :

1. $z_1=1+i\sqrt{3}$
2. $z_2=-2i$
3. $z_3=-1-i$
4. $z_4=-\sqrt{3}+i$

On cherche les racines carrées du nombre complexe $z=3-4i$.

1. On pose $w=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) et on écrit $w^2=z$. Développer et identifier les parties réelle et imaginaire.
2. En utilisant $|w^2|=|z|$, trouver $a^2+b^2$.
3. Résoudre le système obtenu et donner les deux racines carrées de $z$.
4. Vérifier par calcul direct que $w^2=3-4i$.

On pose $z=3+2i$ et $z^{\prime }=1-i$.

1. Calculer $z+z^{\prime }$, $z-z^{\prime }$, et $z\cdot z^{\prime }$.
2. Calculer $1/z$ (écrire sous forme algébrique $a+bi$).
3. Calculer $z/z^{\prime }$ (écrire sous forme algébrique).
4. Calculer $|z|$, $|z^{\prime }|$, et vérifier que $|z\cdot z^{\prime }|=|z|\cdot |z^{\prime }|$.

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme trigonométrique $r(\cos \theta +i\cdot \sin \theta )$ :

1. $z_1=-1+i\sqrt{3}$
2. $z_2=\frac{1+i}{1-i}$
3. $z_3=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le conjugué ${\bar{z}}_1$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times {\bar{z}}_1=|z_1{|}^2$.
3. Calculer $z_1÷z_2$ sous forme algébrique $a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
4. Déterminer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1÷z_2|$. Vérifier que $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.

Exercice 2 — Forme trigonométrique

On considère les nombres complexes $z_A=1+i\sqrt{3}$ et $z_B=\sqrt{3}-i$.

1. Calculer le module et un argument de $z_A$, puis écrire $z_A$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
2. Calculer le module et un argument de $z_B$, puis écrire $z_B$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
3. En déduire la forme trigonométrique et exponentielle de $z_A\times z_B$ et de $z_A÷z_B$, sans effectuer les multiplications directement.
4. Vérifier le résultat de $z_A\times z_B$ en effectuant le produit algébriquement.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes $z_1=3+2i$ et $z_2=1-i$.

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le quotient $z_1÷z_2$ sous forme algébrique. (On rationalisera à l'aide du conjugué de $z_2$.)
3. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1\times z_2|$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
4. Montrer que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=1-2i$.

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Calculer $z_1÷z_2$ sous forme algébrique $a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
4. Déterminer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1÷z_2|$, puis vérifier la relation $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.

Exercice 2 — Forme trigonométrique et exponentielle

On considère les nombres complexes :

• $z_A=1+i\sqrt{3}$
• $z_B=\sqrt{3}-i$

1. Déterminer le module et un argument de $z_A$, puis écrire $z_A$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
2. Même question pour $z_B$.
3. En déduire la forme trigonométrique et exponentielle de $z_A\times z_B$, puis calculer $z_A\times z_B$ sous forme algébrique afin de vérifier le résultat.
4. Calculer de même $z_A÷z_B$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=1-2i$.

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Calculer le quotient $z_1÷z_2$ sous forme algébrique $a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
4. Déterminer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1÷z_2|$. Vérifier que $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+4i$
• $z_2=1-2i$

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1\times z_2$ et $z_1/z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique $a+bi$.

2. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1\times z_2|$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.

3. Déterminer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis calculer $z_1\times \overline{z_1}$. Que remarque-t-on ?

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2-6z+25=0$.

Exercice 2 — Équations dans $\mathbb{C}$

On travaille dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+2z+5=0$. On exprimera les solutions sous forme algébrique.
2. Soit $z_0$ une solution de l'équation précédente. Vérifier que l'autre solution est $\overline{z_0}$ (le conjugué de $z_0$). Cette propriété est-elle générale pour tout polynôme à coefficients réels ? Justifier brièvement.
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-(3+i)z+(2+3i)=0$. (On pourra vérifier que $z=2$ est une solution et factoriser.)

Exercice 1 — Forme algébrique et équations dans $\mathbb{C}$

On considère le nombre complexe $z_0=3-4i$.

1. Partie A — Calculs de base

   1. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z_0$.
   2. Calculer le module $|z_0|$ et le conjugué ${\bar{z}}_0$.
   3. Calculer $z_0\times {\bar{z}}_0$ et vérifier que le résultat est cohérent avec la définition du module.

2. Partie B — Quotient

   Soit le nombre complexe $w=\frac{2+i}{z_0}$.

   1. Écrire $w$ sous forme algébrique $a+bi$, avec $a,b\in \mathbb{R}$.
   2. Calculer $|w|$ en utilisant les propriétés du module (sans repasser par la forme algébrique).

3. Partie C — Équation du second degré

   On considère l'équation dans $\mathbb{C}$ : $z^2-6z+25=0$.

   1. Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation.
   2. Résoudre l'équation dans $\mathbb{C}$ et exprimer les solutions sous forme algébrique.
   3. Vérifier que $z_0=3-4i$ est l'une des solutions.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=1-2i$.

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1\times z_2$ et $z_1÷z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1\times z_2|$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
3. Déterminer le conjugué ${\bar{z}}_1$ de $z_1$, puis calculer $z_1\times {\bar{z}}_1$. Que remarque-t-on ?

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1\times z_2$ et $z_1/z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique $a+bi$.
2. Calculer le module de $z_1$, de $z_2$ et de $z_1\times z_2$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
3. Déterminer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.

Exercice 2 — Forme trigonométrique et argument

On considère les nombres complexes :

• $z_A=-1+i$
• $z_B=\sqrt{3}-i$

1. Calculer le module et un argument de $z_A$, puis écrire $z_A$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
2. Calculer le module et un argument de $z_B$, puis écrire $z_B$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
3. En déduire la forme exponentielle de $z_A\times z_B$ et de $\frac{z_A}{z_B}$, sans effectuer directement le produit ou le quotient algébrique.
4. Vérifier le résultat du produit en développant directement $(-1+i)(\sqrt{3}-i)$.

Exercice 2 — Forme trigonométrique et argument

On considère les nombres complexes :

• $z_A=-1+i\sqrt{3}$
• $z_B=\sqrt{3}+i$

Partie 1 — Forme trigonométrique

1. Calculer le module et un argument de $z_A$. En déduire la forme trigonométrique de $z_A$.
2. Calculer le module et un argument de $z_B$. En déduire la forme trigonométrique de $z_B$.

Partie 2 — Produit et quotient

3. En utilisant les formes trigonométriques, calculer le module et un argument de $z_A\times z_B$.
4. Vérifier le résultat de la question 3 en calculant directement $z_A\times z_B$ en forme algébrique, puis en déduisant son module et son argument.
5. Calculer le module et un argument de $z_A÷z_B$.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

Partie 1 — Opérations en forme algébrique

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Écrire le quotient $z_1÷z_2$ sous forme algébrique $a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.

Partie 2 — Module

4. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1\times z_2|$.
5. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.

Exercice 2 — Forme trigonométrique et argument

On considère les nombres complexes :

• $z_A=1+i$
• $z_B=\sqrt{3}-i$
• $z_C=-2i$

1. Mettre chacun des nombres $z_A$, $z_B$ et $z_C$ sous forme trigonométrique $r(\cos \theta +i\sin \theta )$, en précisant le module $r$ et un argument $\theta \in ]-\pi ;\pi ]$.
2. En déduire la forme exponentielle de $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
3. Calculer $z_A\times z_B$ et $z_A/z_C$ en utilisant les formes exponentielles. Donner les résultats sous forme algébrique.
4. Déterminer un argument de $z_A^2\times z_B$, sans calculer explicitement ce produit sous forme algébrique.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

Partie 1 — Opérations en forme algébrique

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique $a+bi$.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Écrire le quotient $z_1÷z_2$ sous forme algébrique en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\overline{z_2}$.

Partie 2 — Modules et argument

1. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1\times z_2|$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
2. Déterminer un argument de $z_2=1-i$. En déduire la forme trigonométrique de $z_2$.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1\times z_2$ et $z_1/z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique $a+bi$.
2. Calculer le module de $z_1$, de $z_2$ et de $z_1\times z_2$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
3. Déterminer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
4. Soit $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $z^2=5+12i$.

Dans le plan complexe, on considère les points $A(-2+3i)$, $B(2+4i)$, $C(5+3i)$, $D(1+2i)$ et $E(-7)$.

1. Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Déterminer l'affixe de son centre $\Omega$.
3. Montrer que les points $D$, $C$ et $E$ sont alignés.

Le nombre j et ses puissances

On pose $j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

1. Calculer $j^2$.

2. Montrer que $j^2+j+1=0$, puis en déduire que $j^3=1$.

3. Écrire $j^{2026}$ sous forme algébrique.

Ensembles de points définis par un module

Soit $M$ un point d'affixe $z$. Déterminer dans chaque cas l'ensemble des points $M$ :

1. $|z-2i|=3$

2. $|iz-3|=1$

3. $|\bar{z}-3+i|=|z-5|$

Calcul d'arguments

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes non nuls tels que :

$\arg (z_1)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]\text{et}\arg (z_2)\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$

1. Déterminer un argument de $z=z_1{z}_2$, de $z^{\prime }=\frac{z_1}{z_2}$ et de $z^{\prime \prime }=(z_2{)}^4$.

2. Déterminer un argument de $z_3$ dans chacun des cas : a) $\frac{z_3}{z_2}=z_1^2$ ; b) $z_3\times \overline{z_2}=4z_1$.

Mettre sous forme trigonométrique

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous la forme trigonométrique :

$z_1=\sqrt{3}+i,z_2=-4i,z_3=2-2i,z_4=i$

$z_5=-2,z_6=-3-3i,z_7=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Reconnaître un triangle

Dans le plan complexe, on considère les points $A(a=2)$, $B(b=-1+i)$ et $C(c=3+3i)$.

Vérifier que $\frac{c-a}{b-a}=-i$, puis en déduire la nature du triangle $ABC$.

Dans le plan complexe, on considère les points $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ avec $a=1+2i$, $b=3+3i$ et $c=4+5i$.

1. Déterminer l'affixe $d$ de $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

2. Vérifier que $c-a=3i(b-d)$, puis en déduire que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.

3. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un losange.

4. Déterminer l'affixe $e$ de $E$, symétrique de $B$ par rapport à $A$, et en déduire le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle $EBD$.

Dans le plan complexe, on considère les points $A(-2+3i)$, $B(2+4i)$, $C(5+3i)$, $D(1+2i)$ et $E(-7)$.

1. Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

2. Calculer l'affixe de son centre $I$.

3. Montrer que les points $D$, $C$ et $E$ sont alignés.

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes tels que :

$\arg (z_1)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]\text{et}\arg (z_2)\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$

1. Déterminer un argument de $z=z_1{z}_2$, de $z^{\prime }=\frac{z_1}{z_2}$ et de $z^{\prime \prime }=(z_2{)}^4$.

2. Déterminer un argument de $z_3$ dans chacun des cas : a) $\frac{z_3}{z_2}=z_1^2$ ; b) $z_3\times \overline{z_2}=4z_1$.

Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

$z_1=\sqrt{3}+i;z_2=-4i;z_3=2-2i;z_4=i$

$z_5=-2;z_6=-3-3i;z_7=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dans le plan complexe, on considère les points $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ avec :

$a=2;b=-1+i;c=3+3i$

Vérifier que $\frac{c-a}{b-a}=-i$, puis en déduire la nature du triangle $ABC$.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ qui, à tout point $M(z)$, associe son image $M^{\prime }(z^{\prime })$ dans chacun des cas :

1. $z^{\prime }=z-3i$

2. $z^{\prime }=4z-3i$

3. $z^{\prime }=-iz+2-i$

Soit les nombres complexes z₁ = 3 + 4i et z₂ = 1 - 2i. Calculez z₁ + z₂.

Trouver le conjugué du nombre complexe z = -2 + 7i.

Calculez le produit des nombres complexes z₁ = 1 + i et z₂ = 2 - 3i.

Calculez le module de $z=-2+3i$.

Soit z = 5 - 7i. Trouvez le conjugué de z.

Calculez le module du nombre complexe $z=2+3i$.

Calculez z₁$\cdot$z₂ pour z₁ = 1 + i et z₂ = 2 - 3i.

Soit les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=1-2i$. Calculez $z_1+z_2$.