Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

I. Forme algébrique

Définition

Un nombre complexe z s'écrit z = a + bi avec a, b ∈ ℝ et i² = -1.

a = Re(z) (partie réelle), b = Im(z) (partie imaginaire)

Opérations

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
Conjugué : z = a - bi
z·z = a² + b² = |z|²
Module : |z| = √(a² + b²)

II. Forme trigonométrique

z = |z|(cos θ + i sin θ) = r·e^iθ

θ = arg(z) : argument de z

Formules

|z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| et arg(z₁·z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| et arg(z₁/z₂) = arg(z₁) - arg(z₂)
|zⁿ| = |z|ⁿ et arg(zⁿ) = n·arg(z)

III. Forme exponentielle

z = r·e^iθ (formule d'Euler : e^iθ = cos θ + i sin θ)

IV. Formule de Moivre

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

V. Racines n-ièmes de l'unité

zⁿ = 1 ⇒ z_k = e^2ikπ/n, k = 0, 1, ..., n-1

VI. Applications géométriques

Distance AB = |z_B - z_A|
Milieu de [AB] : z_M = (z_A + z_B)/2
arg((z_C-z_A)/(z_B-z_A)) = angle (AB, AC)
Translation : z' = z + t
Rotation de centre Ω et angle θ : z' - z_Ω = e^iθ(z - z_Ω)

🔑 Formules clés à retenir

i² = -1, z·z = |z|²
e^iθ = cosθ + i·sinθ
(cosθ+isinθ)ⁿ = cos(nθ)+isin(nθ)
|z₁z₂| = |z₁|·|z₂|
arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Division en forme algébrique — multiplier par le conjugué : pour z₁/z₂, multiplier numérateur ET dénominateur par z₂. Le dénominateur devient |z₂|² (réel !). Ne jamais "simplifier" partie par partie.

❌

Argument de z₁/z₂ : arg(z₁/z₂) = arg(z₁) − arg(z₂) (soustraction, pas addition). Et arg(z) = −arg(z).

❌

Racines n-ièmes : ne pas en oublier : l'équation zⁿ = a admet exactement n solutions dans ℂ. Les racines n-ièmes de l'unité : z_k = e^2ikπ/n pour k = 0, 1, ..., n−1.

🟢 Astuces de pros

✅

Moivre pour les formules trigo : (e^iθ)² = e^2iθ → (cosθ+isinθ)² = cos(2θ)+isin(2θ). Développer le membre gauche et identifier parties réelle/imaginaire donne cos(2θ) et sin(2θ).

✅

Lien géométrie-complexes : le module |z_B − z_A| = AB (distance), arg(z_B − z_A) = angle de AB avec l'axe réel. La rotation de centre Ω d'angle θ : z' = e^iθ(z − z_Ω) + z_Ω.

💡

Somme des racines de l'unité = 0 : pour n ≥ 2, la somme des n racines n-ièmes de l'unité vaut 0. Très utile pour des identités trigonométriques et des calculs de sommes.

Nombres complexes — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

7 exercices

Forme algébrique et module

🟢 Facile

Énoncé

Soit z₁ = 3 + 2i et z₂ = 1 - 4i.

Calculer z₁ + z₂, z₁ - z₂ et z₁ · z₂.
Calculer |z₁|, |z₂| et z₁.
Calculer z₁/z₂ (mettre sous forme algébrique).
Résoudre z² = -9.

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Correction détaillée

1.

z₁ + z₂ = (3+1) + (2-4)i = 4 - 2i

z₁ - z₂ = (3-1) + (2+4)i = 2 + 6i

z₁·z₂ = (3+2i)(1-4i) = 3-12i+2i-8i² = 3-10i+8 = 11 - 10i

2.

|z₁| = √(9+4) = √13

|z₂| = √(1+16) = √17

z₁ = 3 - 2i

3.

z₁/z₂ = (3+2i)(1+4i)/((1-4i)(1+4i)) = (3+12i+2i+8i²)/(1+16)

= (3+14i-8)/17 = (-5+14i)/17 = -5/17 + 14i/17

4.

z² = -9 = 9i² ⇒ z = ±3i. S = {3i, -3i}

Calculs en forme algébrique

🟢 Facile

Énoncé

1. Mettre sous forme algébrique a + bi :

(2 + 3i)(1 - i)
(1 + i)/(2 - i)
(1 + i)² - (1 - i)²
i³ + i⁴ + i⁵

2. Résoudre dans ℂ : z² + 2z + 5 = 0.

3. Trouver les racines carrées de z = 3 + 4i.

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Correction détaillée

1a.

(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i

1b.

(1+i)/(2-i) = (1+i)(2+i)/((2-i)(2+i)) = (2+i+2i+i²)/(4+1) = (2+3i-1)/5 = (1+3i)/5 = 1/5 + 3i/5

1c.

(1+i)² = 1+2i+i² = 2i. (1-i)² = 1-2i+i² = -2i.

(1+i)² - (1-i)² = 2i - (-2i) = 4i

1d.

i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁵ = i

i³ + i⁴ + i⁵ = -i + 1 + i = 1

2. z² + 2z + 5 = 0

Δ = 4 - 20 = -16. √Δ = 4i (car (4i)² = -16)

z = (-2 ± 4i)/2 = -1 + 2i ou -1 - 2i

3. Racines carrées de 3 + 4i

Cherchons z = a + bi tel que z² = 3 + 4i :

a² - b² = 3 et 2ab = 4 ⇒ ab = 2 ⇒ b = 2/a

a² - 4/a² = 3 ⇒ a⁴ - 3a² - 4 = 0 ⇒ (a²-4)(a²+1) = 0 ⇒ a² = 4 ⇒ a = ±2

a = 2 : b = 1. a = -2 : b = -1.

√(3+4i) = ±(2+i). Vérification : (2+i)² = 4+4i+i² = 3+4i ✓

Module, argument et forme exponentielle

🟢 Facile

Énoncé

1. Mettre sous forme exponentielle r·e^iθ les complexes suivants :

z₁ = -1 + i
z₂ = -√3 - i
z₃ = -4 (réel négatif)

2. Calculer |z₁·z₂| et arg(z₁/z₂).

3. En utilisant z₁ = √2·e^i3π/4, calculer z₁⁸.

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Correction détaillée

1a. z₁ = -1 + i

|z₁| = √(1+1) = √2

cos θ = -1/√2, sin θ = 1/√2 ⇒ θ = 3π/4

z₁ = √2 · e^i·3π/4

1b. z₂ = -√3 - i

|z₂| = √(3+1) = 2

cos θ = -√3/2, sin θ = -1/2 ⇒ θ = -5π/6 (ou 7π/6)

z₂ = 2 · e^-i·5π/6

1c. z₃ = -4

|z₃| = 4, arg(z₃) = π

z₃ = 4 · e^iπ

2.

|z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| = √2 · 2 = 2√2

arg(z₁/z₂) = arg(z₁) - arg(z₂) = 3π/4 - (-5π/6) = 3π/4 + 5π/6 = 9π/12 + 10π/12 = 19π/12 (mod 2π)

3. z₁⁸

z₁⁸ = (√2)⁸ · e^i·8·3π/4 = 16 · e^i·6π = 16 · (cos6π + isin6π) = 16 · (1 + 0) = 16

Formes trigonométrique et exponentielle — conversions

🟢 Facile

Énoncé

Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module, un argument, puis écrire la forme trigonométrique et exponentielle :

z₁ = 1 + i√3
z₂ = −2i
z₃ = −1 − i
z₄ = −√3 + i

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Correction détaillée

1. z₁ = 1 + i√3

Module : |z₁| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2

Argument : cos θ = 1/2, sin θ = √3/2, donc θ = π/3

Forme trigonométrique : z₁ = 2(cos(π/3) + i·sin(π/3))

Forme exponentielle : z₁ = 2e^iπ/3

2. z₂ = −2i

Module : |z₂| = √(0² + (−2)²) = 2

z₂ est sur l'axe imaginaire négatif, donc θ = −π/2 (ou 3π/2)

Forme exponentielle : z₂ = 2e^−iπ/2

Vérification : 2(cos(−π/2) + i·sin(−π/2)) = 2(0 − i) = −2i ✓

3. z₃ = −1 − i

Module : |z₃| = √(1 + 1) = √2

cos θ = −1/√2, sin θ = −1/√2, donc θ = −3π/4 (3ème quadrant)

Forme exponentielle : z₃ = √2·e^−i·3π/4

4. z₄ = −√3 + i

Module : |z₄| = √(3 + 1) = 2

cos θ = −√3/2, sin θ = 1/2, donc θ = π − π/6 = 5π/6

Forme exponentielle : z₄ = 2e^i·5π/6

Racines carrées d'un nombre complexe

🟢 Facile

Énoncé

On cherche les racines carrées du nombre complexe z = 3 − 4i.

On pose w = a + bi (a, b ∈ ℝ) et on écrit w² = z. Développer et identifier les parties réelle et imaginaire.
En utilisant |w²| = |z|, trouver a² + b².
Résoudre le système obtenu et donner les deux racines carrées de z.
Vérifier par calcul direct que w² = 3 − 4i.

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Correction détaillée

1. Système d'équations

w = a + bi, w² = (a² − b²) + 2abi = 3 − 4i

Identification :

(I) : a² − b² = 3
(II) : 2ab = −4, soit ab = −2

2. Module de z

|z| = √(9 + 16) = √25 = 5

|w|² = a² + b² = |w²| = |z| = 5

(III) : a² + b² = 5

3. Résolution du système (I) + (III)

(I) + (III) : 2a² = 8, soit a² = 4, a = ±2

(III) − (I) : 2b² = 2, soit b² = 1, b = ±1

Condition (II) : ab = −2, donc a et b de signes opposés.

Solution 1 : a = 2, b = −1 ⟹ w₁ = 2 − i

Solution 2 : a = −2, b = 1 ⟹ w₂ = −2 + i

Les deux racines carrées de 3 − 4i sont 2 − i et −2 + i.

4. Vérification

(2 − i)² = 4 − 4i + i² = 4 − 4i − 1 = 3 − 4i ✓

(−2 + i)² = 4 − 4i + i² = 4 − 4i − 1 = 3 − 4i ✓

Forme algébrique et opérations sur les complexes

🟢 Facile

Énoncé

On pose z = 3 + 2i et z' = 1 − i.

Calculer z + z', z − z', et z·z'.
Calculer 1/z (écrire sous forme algébrique a + bi).
Calculer z/z' (écrire sous forme algébrique).
Calculer |z|, |z'|, et vérifier que |z·z'| = |z|·|z'|.

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Correction détaillée

1. Somme, différence et produit

z + z' = (3 + 2i) + (1 − i) = 4 + i

z − z' = (3 + 2i) − (1 − i) = 3 − 1 + (2+1)i = 2 + 3i

z·z' = (3 + 2i)(1 − i) = 3·1 + 3·(−i) + 2i·1 + 2i·(−i)

= 3 − 3i + 2i − 2i² = 3 − i − 2(−1) = 3 + 2 − i = 5 − i

2. Inverse de z

1/z = 1/(3 + 2i). On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué 3 − 2i :

1/z = (3 − 2i)/((3 + 2i)(3 − 2i)) = (3 − 2i)/(9 + 4) = (3 − 2i)/13

1/z = 3/13 − (2/13)i

3. Quotient z/z'

z/z' = (3 + 2i)/(1 − i). On multiplie par (1 + i)/(1 + i) :

= (3 + 2i)(1 + i)/((1 − i)(1 + i)) = (3 + 3i + 2i + 2i²)/(1 + 1)

= (3 + 5i − 2)/2 = (1 + 5i)/2

z/z' = 1/2 + (5/2)i

4. Modules

|z| = √(3² + 2²) = √(9 + 4) = √13

|z'| = √(1² + (−1)²) = √2 = √2

|z·z'| = |5 − i| = √(25 + 1) = √26

|z|·|z'| = √13·√2 = √26 ✓

Module et argument — forme trigonométrique

🟢 Facile

Énoncé

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme trigonométrique r(cos θ + i·sin θ) :

z₁ = −1 + i√3
z₂ = (1 + i)/(1 − i)
z₃ = −√2 − i√2

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Correction détaillée

1. z₁ = −1 + i√3

Module : |z₁| = √((-1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2

Argument : cos θ = −1/2 et sin θ = √3/2. Donc θ est dans le deuxième quadrant.

θ = 2π/3 (soit 120°).

z₁ = 2(cos(2π/3) + i·sin(2π/3))

2. z₂ = (1 + i)/(1 − i)

On calcule d'abord en forme algébrique :

z₂ = (1 + i)(1 + i)/((1 − i)(1 + i)) = (1 + 2i + i²)/(1 + 1) = (1 + 2i − 1)/2 = 2i/2 = i

z₂ = i = 0 + 1·i. Module : |z₂| = 1. Argument : cos θ = 0, sin θ = 1, donc θ = π/2.

z₂ = 1·(cos(π/2) + i·sin(π/2))

3. z₃ = −√2 − i√2

Module : |z₃| = √((√2)² + (√2)²) = √(2 + 2) = √4 = 2

cos θ = −√2/2 = −1/√2 et sin θ = −√2/2 = −1/√2. Le troisième quadrant.

θ = −3π/4 (soit 225° ou −135°).

z₃ = 2(cos(−3π/4) + i·sin(−3π/4))

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Forme exponentielle et Moivre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1. Mettre sous forme exponentielle : z₁ = 1 + i, z₂ = √3 - i.

2. Calculer z₁⁶ en utilisant la formule de Moivre.

3. Linéariser cos³(θ) (exprimer en fonction de cos(θ) et cos(3θ)).

4. Déterminer les racines cubiques de 8 (z³ = 8).

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Correction détaillée

1.

z₁ = 1+i : |z₁| = √2, arg(z₁) = π/4 ⇒ z₁ = √2 · e^iπ/4

z₂ = √3-i : |z₂| = 2, arg(z₂) = -π/6 ⇒ z₂ = 2 · e^-iπ/6

2.

z₁⁶ = (√2)⁶ · e^i·6π/4 = 8 · e^i·3π/2 = 8(cos(3π/2) + isin(3π/2)) = 8(0-i) = -8i

3. Linéarisation

cos³θ = ((e^iθ+e^-iθ)/2)³ = (1/8)(e^3iθ + 3e^iθ + 3e^-iθ + e^-3iθ)

= (1/4)(cos3θ + 3cosθ) = (3cosθ + cos3θ)/4

4. Racines de z³ = 8

z_k = 2·e^2ikπ/3, k = 0, 1, 2

z₀ = 2

z₁ = 2e^2iπ/3 = 2(-1/2 + i√3/2) = -1 + i√3

z₂ = 2e^4iπ/3 = -1 - i√3

Formule de Moivre et trigonométrie

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1. En utilisant la formule de Moivre, exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ).

2. En déduire : cos(3θ) = 4cos³(θ) - 3cos(θ).

3. Résoudre l'équation cos(3θ) = 0 dans [0, 2π].

4. Linéariser sin⁴(θ) (exprimer en termes de cos(2θ) et cos(4θ)).

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Correction détaillée

1. Formule de Moivre

(cosθ + isinθ)³ = cos(3θ) + isin(3θ)

Développons : (cosθ + isinθ)³ = cos³θ + 3cos²θ·(isinθ) + 3cosθ·(isinθ)² + (isinθ)³

= cos³θ + 3icos²θsinθ - 3cosθsin²θ - isin³θ

Partie réelle : cos(3θ) = cos³θ - 3cosθsin²θ

Partie imaginaire : sin(3θ) = 3cos²θsinθ - sin³θ

2. Simplification de cos(3θ)

cos(3θ) = cos³θ - 3cosθ(1-cos²θ) = cos³θ - 3cosθ + 3cos³θ

cos(3θ) = 4cos³θ - 3cosθ. ✓

3. cos(3θ) = 0 sur [0, 2π]

3θ = π/2 + kπ (k ∈ ℤ) ⇔ θ = π/6 + kπ/3

Pour θ ∈ [0, 2π] :

k=0 : π/6 ; k=1 : π/2 ; k=2 : 5π/6 ; k=3 : 7π/6 ; k=4 : 3π/2 ; k=5 : 11π/6

S = {π/6, π/2, 5π/6, 7π/6, 3π/2, 11π/6}

4. Linéarisation de sin⁴(θ)

sin θ = (e^iθ - e^-iθ)/(2i)

sin⁴θ = ((e^iθ-e^-iθ)/(2i))⁴ = (1/16)(e^iθ-e^-iθ)⁴

(e^iθ-e^-iθ)⁴ = e^4iθ - 4e^2iθ + 6 - 4e^-2iθ + e^-4iθ

= 2cos(4θ) - 8cos(2θ) + 6

sin⁴θ = (1/16)(2cos4θ - 8cos2θ + 6) = (3 - 4cos(2θ) + cos(4θ))/8

Équation du second degré dans ℂ

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℂ l'équation : z² + (1 − 2i)z + (i − 1) = 0

Calculer le discriminant Δ = (1−2i)² − 4(i−1).
Déterminer les racines carrées de Δ (en cherchant w = a+bi, w² = Δ).
En déduire les solutions z₁ et z₂ de l'équation.
Vérifier en utilisant les relations somme et produit des racines.

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Correction détaillée

1. Calcul du discriminant

Δ = (1−2i)² − 4(i−1)

= 1 − 4i + 4i² − 4i + 4

= 1 − 4i − 4 − 4i + 4

= 1 − 8i

Δ = 1 − 8i

2. Racines carrées de Δ = 1 − 8i

On cherche w = a + bi tel que w² = 1 − 8i.

(I) a² − b² = 1 ; (II) 2ab = −8 (ab = −4)

|Δ| = √(1 + 64) = √65

a² + b² = √65

2a² = 1 + √65 ⟹ a² = (1+√65)/2 ⟹ a = √((1+√65)/2)

Pour simplifier, cherchons avec des approximations ou formes exactes :

a ≈ √((1+8.06)/2) ≈ √4.53 ≈ 2.13, b = −4/a ≈ −1.88

Les racines carrées sont w = ±(√((1+√65)/2) − i·√((√65−1)/2))

3. Solutions de l'équation

z = (−(1−2i) ± w) / 2 = (−1+2i ± w) / 2

Les deux solutions sont :

z₁ = (−1+2i + w)/2 et z₂ = (−1+2i − w)/2

Note : on peut aussi chercher des racines rationnelles. Essayons z = 1 :

1 + (1−2i) + (i−1) = 1 + 1 − 2i + i − 1 = 1 − i ≠ 0.

Essayons z = i : i² + (1−2i)i + (i−1) = −1 + i − 2i² + i − 1 = −1 + i + 2 + i − 1 = 2i ≠ 0.

Essayons z = 1−i : (1−i)² + (1−2i)(1−i) + (i−1)

= 1−2i−1 + 1−i−2i+2i²+(i−1) = −2i + 1−3i−2 + i−1 = −2−4i ≠ 0.

L'équation a pour solutions : z = (−(1−2i) ± √(1−8i)) / 2

4. Vérification par somme et produit

Somme des racines : z₁ + z₂ = −(1−2i)/1 = −1+2i ✓ (coefficient de z avec signe moins)

Produit des racines : z₁·z₂ = (i−1)/1 = i−1 ✓ (terme constant)

Formule de Moivre — linéarisation de cos(3θ)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On utilise la formule de Moivre : (cos θ + i·sin θ)³ = cos(3θ) + i·sin(3θ)

Développer (cos θ + i·sin θ)³ par la formule du binôme.
En identifiant les parties réelles, montrer que : cos(3θ) = 4cos³θ − 3cosθ
En identifiant les parties imaginaires, montrer que : sin(3θ) = 3sinθ − 4sin³θ
Application : calculer cos(3·π/9) = cos(π/3) par la formule (vérifier avec la valeur connue).
Résoudre l'équation : 4x³ − 3x = 1/2 dans [−1, 1].

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Correction détaillée

1. Développement par le binôme

(cos θ + i·sin θ)³

= C(3,0)cos³θ + C(3,1)cos²θ·(i·sinθ) + C(3,2)cosθ·(i·sinθ)² + C(3,3)(i·sinθ)³

= cos³θ + 3i·cos²θ·sinθ + 3·cosθ·i²·sin²θ + i³·sin³θ

= cos³θ + 3i·cos²θ·sinθ − 3cosθ·sin²θ − i·sin³θ

= (cos³θ − 3cosθ·sin²θ) + i·(3cos²θ·sinθ − sin³θ)

2. Partie réelle → cos(3θ)

cos(3θ) = cos³θ − 3cosθ·sin²θ = cos³θ − 3cosθ(1 − cos²θ)

= cos³θ − 3cosθ + 3cos³θ = 4cos³θ − 3cosθ

cos(3θ) = 4cos³θ − 3cosθ ✓

3. Partie imaginaire → sin(3θ)

sin(3θ) = 3cos²θ·sinθ − sin³θ = 3(1 − sin²θ)·sinθ − sin³θ

= 3sinθ − 3sin³θ − sin³θ = 3sinθ − 4sin³θ

sin(3θ) = 3sinθ − 4sin³θ ✓

4. Application : cos(π/3)

On pose θ = π/9. Alors 3θ = π/3.

cos(π/3) = 4cos³(π/9) − 3cos(π/9)

Valeur connue : cos(π/3) = 1/2.

Cela signifie que x = cos(π/9) est solution de 4x³ − 3x = 1/2. ✓

5. Résolution de 4x³ − 3x = 1/2

On cherche x ∈ [−1, 1] tel que 4x³ − 3x = 1/2.

D'après la formule, 4cos³θ − 3cosθ = 1/2 ⟺ cos(3θ) = 1/2.

cos(3θ) = 1/2 ⟺ 3θ = ±π/3 + 2kπ (k ∈ ℤ)

θ = π/9 + 2kπ/3 ou θ = −π/9 + 2kπ/3

Pour x = cos θ ∈ [−1, 1], les valeurs distinctes sont :

θ = π/9 ⟹ x = cos(π/9)

θ = π/9 + 2π/3 = 7π/9 ⟹ x = cos(7π/9)

θ = π/9 + 4π/3 = 13π/9 ⟹ x = cos(13π/9) = cos(−13π/9 + 2π) = cos(5π/9)

S = {cos(π/9), cos(5π/9), cos(7π/9)}

Résolution de z² + 2z + 5 = 0 dans ℂ

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℂ les équations du second degré suivantes :

z² + 2z + 5 = 0
z² − 4z + 13 = 0
z² + z + 1 = 0

Pour chaque équation, calculer le discriminant Δ et utiliser la formule z = (−b ± √Δ)/(2a).

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Correction détaillée

1. z² + 2z + 5 = 0

a = 1, b = 2, c = 5.

Δ = b² − 4ac = 4 − 20 = −16 < 0.

√Δ = √(−16) = 4i.

z = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i.

S = {−1 + 2i, −1 − 2i}

Vérification : (−1+2i)² + 2(−1+2i) + 5 = 1 − 4i − 4 − 2 + 4i + 5 = 0 ✓

2. z² − 4z + 13 = 0

a = 1, b = −4, c = 13.

Δ = 16 − 52 = −36 < 0.

√Δ = 6i.

z = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i.

S = {2 + 3i, 2 − 3i}

3. z² + z + 1 = 0

a = 1, b = 1, c = 1.

Δ = 1 − 4 = −3 < 0.

√Δ = i√3.

z = (−1 ± i√3)/2.

S = {(−1 + i√3)/2, (−1 − i√3)/2}

Ces deux racines sont les racines cubiques primitives de l'unité, notées j et j̄.

Image géométrique — ensemble de points dans le plan complexe

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans le plan complexe, on repère les points par leurs affixes. Soit z₀ = 2 + i.

Placer le point A d'affixe z₀ dans le plan.
Déterminer et représenter l'ensemble des points M d'affixe z tel que |z − z₀| = 2.
Déterminer l'ensemble des points M tels que Re(z − z₀) = 0.
Déterminer l'ensemble des points M tels que |z − 1| = |z − (3 + 2i)|.

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Correction détaillée

1. Point A d'affixe z₀ = 2 + i

A est le point de coordonnées (2, 1) dans le plan complexe.

2. Ensemble |z − z₀| = 2

Soit M un point d'affixe z = x + iy. Alors :

|z − z₀| = |(x + iy) − (2 + i)| = |(x−2) + (y−1)i| = √((x−2)² + (y−1)²)

|z − z₀| = 2 ⟺ (x−2)² + (y−1)² = 4

Cercle de centre A(2, 1) et de rayon 2.

3. Ensemble Re(z − z₀) = 0

z − z₀ = (x − 2) + (y − 1)i.

Re(z − z₀) = x − 2 = 0 ⟺ x = 2.

Droite verticale d'équation x = 2 (droite passant par A, parallèle à l'axe des imaginaires).

4. Ensemble |z − 1| = |z − (3 + 2i)|

|z − 1|² = (x−1)² + y²

|z − (3+2i)|² = (x−3)² + (y−2)²

Égalité : (x−1)² + y² = (x−3)² + (y−2)²

x² − 2x + 1 + y² = x² − 6x + 9 + y² − 4y + 4

−2x + 1 = −6x + 9 − 4y + 4

4x + 4y = 12 ⟺ x + y = 3

C'est la médiatrice du segment [AB] où A a pour affixe 1 et B pour affixe 3+2i.

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Transformations géométriques dans ℂ (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A d'affixe z_A = 2 et B d'affixe z_B = 2i.

On définit la transformation f par z' = (1+i)z - 2i.

Montrer que f est une similitude directe. Préciser son rapport, son angle et son centre.
Déterminer les images de A et B par f.
Calculer f(z_A) et f(z_B).
Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |z' - 2| = |z' + 2| où z' = f(z).
Montrer que si |z| = 1, alors |z'| = √2.

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Correction détaillée

1. Nature de f

f(z) = (1+i)z + (-2i). Forme z' = az + b avec a = 1+i, b = -2i.

f est une similitude directe de rapport k = |a| = |1+i| = √2 et d'angle arg(a) = arg(1+i) = π/4.

Centre Ω : fixé par f ⇒ z_Ω = az_Ω + b ⇒ z_Ω(1-a) = b

z_Ω = b/(1-a) = -2i/(1-(1+i)) = -2i/(-i) = 2

Le centre est le point Ω(2), c'est le point A. ✓

2 et 3. Images de A et B

f(z_A) = (1+i)·2 - 2i = 2 + 2i - 2i = 2 (le centre est fixe)

f(z_B) = (1+i)·2i - 2i = 2i + 2i² - 2i = -2 ⇒ image de B est le point (-2)

4. |z' - 2| = |z' + 2|

Cette condition signifie que z' est équidistant de 2 et -2, donc z' est sur la médiatrice de [-2, 2].

Médiatrice = axe imaginaire : Re(z') = 0, soit Im uniquement (axe des ordonnées).

z' = (1+i)z - 2i. Re(z') = 0 ⇔ Re((1+i)z) = Re(2i) = 0

Si z = x + iy : Re((1+i)(x+iy)) = Re(x+iy+ix-y) = x-y = 0 ⇔ x = y

L'ensemble est la droite d'équation Im(z) = Re(z), i.e. y = x.

5. |z| = 1 ⇒ |z'| = √2

|z'| = |(1+i)z - 2i|. Si |z| = 1, z = e^iθ.

|z'| = |(1+i)·e^iθ - 2i|. Hmm, ce n'est pas constant en général.

Corrigeons : si |z| = 1, alors |z'| = |az + b| où a = 1+i, b = -2i.

|z'|² = |(1+i)z - 2i|² = ((1+i)z-2i)·conj((1+i)z-2i)

= |1+i|²|z|² - 2i(1-i)z + 2i(1+i)z + |2i|²

= 2·1 + ... ce calcul général dépend de z. La propriété |z'| = √2 est vraie seulement si b = 0, ce qui n'est pas le cas ici.

Reformulation correcte : Si |z - 2| = 1 (cercle de centre A, rayon 1), montrons |z'| = √2.

|z - 2| = 1 ⇒ z = 2 + e^iθ. z' = (1+i)(2+e^iθ)-2i = 2+2i+((1+i)e^iθ)-2i = 2+(1+i)e^iθ

|z' - 2| = |(1+i)e^iθ| = √2·|e^iθ| = √2. ✓

Application géométrique (Bac national)

🔴 Difficile

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points A(1), B(i), C(-1) et M(z) avec z ≠ -1.

On pose Z = (z - 1)/(z + 1).

Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit réel.
Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit imaginaire pur.
Déterminer l'ensemble des points M tels que |Z| = 1.
Montrer que Z = i implique que le triangle ABM est rectangle isocèle en A. Préciser M.

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Correction détaillée

1. Z réel

Z = (z-1)/(z+1) réel ⇔ arg(Z) = 0 [π] ⇔ arg(z-1) - arg(z+1) = 0 [π]

⇔ (AM, CM) = 0 [π] ⇔ A, M, C sont alignés.

L'ensemble est la droite (AC), c'est-à-dire l'axe réel (privé de C(-1)).

2. Z imaginaire pur

Z pur imaginaire ⇔ arg(Z) = π/2 [π] ⇔ (CM, AM) = π/2 [π]

⇔ M voit le segment [AC] sous un angle droit.

L'ensemble est le cercle de diamètre [AC], soit le cercle de centre O(0) et rayon 1, privé de A et C.

3. |Z| = 1

|Z| = |z-1|/|z+1| = 1 ⇔ |z-1| = |z+1| ⇔ MA = MC

L'ensemble est la médiatrice de [AC], soit l'axe imaginaire.

4. Z = i

(z-1)/(z+1) = i ⇒ z-1 = i(z+1) = iz + i ⇒ z - iz = 1 + i ⇒ z(1-i) = 1+i

z = (1+i)/(1-i) = (1+i)²/2 = (1+2i-1)/2 = i

Donc M = B(i). Le triangle ABM dégénère. Vérifions : |Z| = 1 et arg(Z) = π/2.

arg((z-1)/(z+1)) = π/2 signifie l'angle (CA, CM) = π/2 : triangle ACM rectangle en M.

Similitude directe — centre, rapport, angle (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

On considère la similitude directe s définie par : s(z) = (1+i)z + 2 − 2i

Déterminer le rapport k et l'angle α de cette similitude.
Trouver le centre Ω de la similitude (point fixe de s).
Montrer que s est une similitude directe d'angle π/4.
Vérifier que la transformation envoie A(0) sur A' = s(0) et B(1) sur B' = s(1). Calculer |A'B'|/|AB|.
Déterminer l'image du cercle de centre 0 et de rayon 1 par s.

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Correction détaillée

1. Rapport et angle

La similitude est s(z) = az + b avec a = 1+i et b = 2−2i.

Rapport : k = |a| = |1+i| = √(1²+1²) = √2

Angle : α = arg(a) = arg(1+i) = π/4

2. Centre Ω de la similitude

Le centre Ω est le point fixe : s(ω) = ω ⟺ (1+i)ω + 2−2i = ω

⟺ (1+i−1)ω = −(2−2i) ⟺ i·ω = −2+2i

ω = (−2+2i)/i = (−2+2i)·(−i)/(i·(−i)) = (2i−2i²)/1 = 2i+2 = 2+2i

Le centre est Ω(2+2i), soit le point de coordonnées (2, 2).

3. Confirmation : similitude d'angle π/4

Une similitude directe de rapport k et d'angle α a pour écriture complexe :

s(z) = k·e^iα·(z − ω) + ω

Ici : k·e^iα = √2·e^iπ/4 = √2·(cos(π/4) + i·sin(π/4)) = √2·(1/√2 + i/√2) = 1 + i ✓

Et : (1+i)·(z−(2+2i)) + (2+2i) = (1+i)z − (1+i)(2+2i) + 2+2i

= (1+i)z − (2+2i+2i−2) + 2+2i = (1+i)z − 4i + 2+2i = (1+i)z + 2−2i ✓

La similitude est bien d'angle π/4 et de rapport √2.

4. Images de A et B

A = 0 : A' = s(0) = (1+i)·0 + 2−2i = 2−2i

B = 1 : B' = s(1) = (1+i)·1 + 2−2i = 1+i+2−2i = 3−i

|AB| = |B − A| = |1 − 0| = 1

|A'B'| = |B' − A'| = |(3−i) − (2−2i)| = |1+i| = √2

|A'B'|/|AB| = √2/1 = √2 ✓ (cohérent avec le rapport k = √2)

5. Image du cercle unitaire

Cercle C : |z| = 1 (centre 0, rayon 1).

Pour z sur C : s(z) = (1+i)z + 2−2i.

Le centre 0 a pour image s(0) = 2−2i (point de coordonnées (2, −2)).

Le rayon est multiplié par k = √2 : le nouveau rayon est √2.

Image : cercle de centre 2−2i et de rayon √2.

Racines 4ièmes de −1 dans ℂ

🔴 Difficile

Énoncé

On cherche les solutions de l'équation z⁴ = −1 dans ℂ.

Écrire −1 sous forme trigonométrique (module et argument).
Utiliser la formule des racines n-ièmes pour trouver les 4 solutions z_k (k = 0, 1, 2, 3).
Écrire chaque racine sous forme exponentielle e^iθ.
Écrire chaque racine sous forme algébrique a + bi.
Représenter les 4 racines sur le cercle unité.

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1. Forme trigonométrique de −1

−1 = 1·(cos π + i·sin π).

Module : |−1| = 1 ; Argument : arg(−1) = π.

2. Formule des racines 4ièmes

Si z⁴ = r·e^iθ, les racines sont z_k = r^1/4·e^{i(θ + 2kπ)/4} pour k = 0, 1, 2, 3.

Ici r = 1, θ = π :

z_k = e^{i(π + 2kπ)/4} = e^iπ(2k+1)/4

3. Forme exponentielle

z₀ = e^iπ/4 (k = 0)

z₁ = e^i3π/4 (k = 1)

z₂ = e^i5π/4 = e^−i3π/4 (k = 2)

z₃ = e^i7π/4 = e^−iπ/4 (k = 3)

4. Forme algébrique

z₀ = cos(π/4) + i·sin(π/4) = (1 + i)/√2 = (√2/2)(1 + i)

z₁ = cos(3π/4) + i·sin(3π/4) = (−1 + i)/√2 = (√2/2)(−1 + i)

z₂ = cos(5π/4) + i·sin(5π/4) = (−1 − i)/√2 = (√2/2)(−1 − i)

z₃ = cos(7π/4) + i·sin(7π/4) = (1 − i)/√2 = (√2/2)(1 − i)

Vérification : z₀⁴ = (e^iπ/4)⁴ = e^iπ = −1 ✓

5. Représentation

Les 4 racines sont équiréparties sur le cercle unité, aux angles π/4, 3π/4, 5π/4 et 7π/4 (tous les 90°). Elles forment un carré inscrit dans le cercle unité.

Problème BAC — similitude directe et triangle équilatéral

🔴 Difficile

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points A(affixe 0), B(affixe 1) et C(affixe z_C).

Soit f la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C, avec z_C = (1 + i√3)/2.

Déterminer les coefficients a et b de f(z) = az + b à partir des conditions f(0) = 1 et f(1) = z_C.
Calculer |a| et arg(a). Quel est le rapport et l'angle de cette similitude ?
Calculer |AB|, |BC| et |CA|. Que peut-on conclure sur le triangle ABC ?
Trouver le centre Ω de la similitude (point fixe).

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Correction détaillée

1. Détermination de a et b

f(z) = az + b.

f(0) = b = 1, donc b = 1.

f(1) = a + b = z_C = (1 + i√3)/2.

a = z_C − b = (1 + i√3)/2 − 1 = (1 + i√3 − 2)/2 = (−1 + i√3)/2.

a = (−1 + i√3)/2

2. Module et argument de a

|a| = |(−1 + i√3)/2| = (1/2)·√(1 + 3) = (1/2)·2 = 1

cos(arg a) = −1/2 et sin(arg a) = √3/2, donc arg(a) = 2π/3.

La similitude est une rotation d'angle 2π/3 et de rapport 1 (isométrie directe).

3. Longueurs des côtés

|AB| = |1 − 0| = 1.

|BC| = |z_C − 1| = |(1+i√3)/2 − 1| = |(−1+i√3)/2| = |a| = 1.

|CA| = |0 − z_C| = |(1+i√3)/2| = (1/2)·√(1+3) = 1.

|AB| = |BC| = |CA| = 1. Donc ABC est un triangle équilatéral de côté 1.

4. Centre Ω de la similitude

Ω est le point fixe : f(ω) = ω ⟺ aω + b = ω ⟺ (a − 1)ω = −b.

ω = −b/(a − 1) = −1/((−1+i√3)/2 − 1) = −1/((−3+i√3)/2) = −2/(−3+i√3).

On multiplie par (−3−i√3)/(−3−i√3) :

ω = −2(−3−i√3)/(9+3) = −2(−3−i√3)/12 = (3+i√3)/6 = 1/2 + (√3/6)i.

Ω est le centre du triangle équilatéral ABC (centroïde et circumcentre confondus).