Maximum de la probabilité binomiale pₖ

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel avec $n\ge 20$. Une urne contient $10$ boules blanches et $(n-10)$ boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, et on répète l'expérience $n$ fois. On note $p_k$ la probabilité d'obtenir exactement $k$ boules blanches ($0\le k\le n$).

1. Exprimer $p_k$ en fonction de $n$ et $k$.

2. Pour $0\le k\le n-1$, on pose $u_k=\frac{p_{k+1}}{p_k}$. Montrer que $u_k=\frac{n-k}{k+1}\cdot \frac{10}{n-10}$.

3. Montrer les équivalences $0\le k\le 9⟺u_k\ge 1$ et $10\le k\le n-1⟺u_k\le 1$.

4. En déduire la plus grande valeur $M$ de $p_k$ pour $k\in \{0,1,\dots ,n\}$, et montrer que $M=\frac{n!}{n^n}\cdot \frac{10^{10}}{10!}\cdot \frac{(n-10{)}^{n-10}}{(n-10)!}$.