Énoncé Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher portant les numéros 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 . On tire successivement et sans remise 2 boules. On considère l'événement A : « obtenir deux boules portant des numéros pairs ». Montrer que P ( A ) = 3 1 . On répète cette expérience 3 fois de suite, en remettant à chaque fois les deux boules dans l'urne. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de A . Montrer que P ( X = 1 ) = 9 4 . Déterminer la loi de probabilité de X . Calculer E ( X ) , V ( X ) et σ ( X ) .

Répétition d'une épreuve et loi binomiale

Intermédiaire

Énoncé

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher portant les numéros $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $3$ , $4$ , $4$ , $4$ , $4$ . On tire successivement et sans remise $2$ boules.

On considère l'événement $A$ : « obtenir deux boules portant des numéros pairs ». Montrer que $P (A) = \frac{1}{3}$ .
On répète cette expérience $3$ fois de suite, en remettant à chaque fois les deux boules dans l'urne. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de $A$ .
1. Montrer que $P (X = 1) = \frac{4}{9}$ .
2. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
3. Calculer $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $P(A)$, commence par compter combien il y a de boules portant un numéro pair dans l'urne (les « $2$ » et les « $4$ »). Ensuite, utilise les combinaisons pour dénombrer toutes les façons de tirer $2$ boules parmi $10$, puis $2$ boules paires parmi les paires.

2 Indice 2

Une fois que tu as $P(A) = \dfrac{1}{3}$, remarque qu'on répète l'expérience $3$ fois de façon indépendante avec remise. La variable $X$ compte le nombre de succès : elle suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}\left(3, \dfrac{1}{3}\right)$. Utilise la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

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Pour calculer $P (A)$ , commence par compter combien il y a de boules portant un numéro pair dans l'urne (les « $2$ » et les « $4$ »). Ensuite, utilise les combinaisons pour dénombrer toutes les façons de tirer $2$ boules parmi $10$ , puis $2$ boules paires parmi les paires.

Une fois que tu as $P (A) = \frac{1}{3}$ , remarque qu'on répète l'expérience $3$ fois de façon indépendante avec remise. La variable $X$ compte le nombre de succès : elle suit donc une loi binomiale $B (3, \frac{1}{3})$ . Utilise la formule $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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