Choix d'un sac et formule de Bayes

Énoncé

Un sac $S_1$ contient $4$ boules rouges et $2$ boules noires. Un sac $S_2$ contient $2$ boules rouges et $1$ boule noire. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On choisit au hasard l'un des deux sacs (de façon équiprobable), puis on tire une boule de ce sac.

1. Calculer la probabilité de choisir le sac $S_2$ et d'obtenir une boule rouge.
2. Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge.
3. En déduire la probabilité d'obtenir une boule noire.
4. Sachant que la boule tirée est noire, quelle est la probabilité qu'elle provienne du sac $S_1$ ?