Clubs scolaires : arbre pondéré et probabilité conditionnelle

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Une école compte élèves répartis dans trois clubs, chaque élève pratiquant une seule activité : au club Cybersécurité (dont de filles), au club Sport (dont de filles) et au club Environnement (dont de filles). On choisit un élève au hasard. On note : « c'est une fille », : « c'est un garçon », et , , les événements correspondant à chaque club.

  1. Vérifier que , puis calculer et .

  2. Montrer que .

  3. En déduire .

  4. Sachant que l'élève choisi est un garçon, montrer que la probabilité qu'il soit inscrit au club Environnement est .

Indices

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1 Indice 1
Pour calculer $P(F)$, décompose selon les trois clubs : une fille peut venir de Cybersécurité, Sport ou Environnement. Utilise la formule des probabilités totales en multipliant pour chaque club sa probabilité par la proportion de filles qu'il contient.
2 Indice 2
Pour la probabilité conditionnelle $P_G(C_{env})$, applique la formule de Bayes : $P_G(C_{env}) = \dfrac{P(C_{env} \cap G)}{P(G)}$. Commence par calculer le nombre de garçons au club Environnement sachant que $72\%$ sont des filles.

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La méthode — par où commencer

Pour calculer , décompose selon les trois clubs : une fille peut venir de Cybersécurité, Sport ou Environnement. Utilise la formule des probabilités totales en multipliant pour chaque club sa probabilité par la proportion de filles qu'il contient.

Pour la probabilité conditionnelle , applique la formule de Bayes : . Commence par calculer le nombre de garçons au club Environnement sachant que sont des filles.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Deux sacs : probabilités totales et formule de Bayes Tous les exercices du chapitre Transfert de boule entre deux sacs : probabilités totales