Deux boîtes U et V : épreuve à deux étapes

Énoncé

On dispose de deux boîtes. La boîte $U$ contient $4$ boules rouges et $4$ boules bleues ; la boîte $V$ contient $2$ boules rouges et $4$ boules bleues. On tire au hasard une boule de $U$ : si elle est rouge, on la place dans $V$ puis on tire une boule de $V$ ; si elle est bleue, on l'écarte puis on tire une boule de $V$. On note $R_U,B_U$ (boule de $U$ rouge, resp. bleue) et $R_V,B_V$ (boule de $V$ rouge, resp. bleue).

1. Calculer $P(R_U)$ et $P(B_U)$.

2. Calculer $P_{R_U}(B_V)$ et $P_{B_U}(B_V)$.

3. Montrer que $P(B_V)=\frac{13}{21}$.

4. En déduire $P(R_V)$.