Transfert de boule entre deux sacs : probabilités totales

Énoncé

Un sac $S_1$ contient $2$ boules rouges et $3$ boules noires ; un sac $S_2$ contient $3$ boules rouges et $2$ boules noires. On tire une boule de $S_1$ : si elle est noire, on la place dans $S_2$ puis on tire une boule de $S_2$ ; si elle est rouge, on l'écarte puis on tire une boule de $S_2$. On note :

• $R_1$, $N_1$ : la boule tirée de $S_1$ est rouge, resp. noire ;
• $R_2$, $N_2$ : la boule tirée de $S_2$ est rouge, resp. noire.

1. Montrer que $P(R_2)=\frac{27}{50}$.

2. En déduire $P(N_2)$.

3. Sachant que la boule tirée de $S_2$ est rouge, quelle est la probabilité que la boule tirée de $S_1$ soit rouge ?