Jeu de gains : loi binomiale et espérance d'un gain

Énoncé

Un sac contient $2n$ boules indiscernables au toucher ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) : $n$ blanches et $n$ noires. Un jeu consiste à tirer une boule, noter sa couleur, la remettre dans le sac, puis tirer une seconde boule et noter sa couleur. La règle est : deux blanches $\Rightarrow$ on gagne $20$ points ; deux noires $\Rightarrow$ on perd $20$ points ; couleurs différentes $\Rightarrow$ gain nul.

1. Calculer la probabilité de gagner $20$ points, celle de perdre $20$ points et celle d'un gain nul.

2. On répète le jeu cinq fois. Calculer la probabilité de gagner $100$ points, puis celle de gagner exactement $40$ points.

3. Pour une seule partie, soit $X\in \{-20,0,20\}$ le gain algébrique. Déterminer la loi de $X$ et calculer $E(X)$.