🤔 Le mot qui terrorise les BAC SM
Quand un sujet de BAC dit « Démontrer que… », beaucoup d'élèves se figent. Pas par manque de connaissance, mais par manque de méthode. Ils ne savent pas comment commencer.
Pourtant, il existe essentiellement 4 stratégies de démonstration qui suffisent pour 95% des exercices du BAC SM. Si tu les reconnais et tu sais quand utiliser laquelle, tu deviens imbattable sur ce type de question.
🛡️ Les 4 outils essentiels
- Preuve directe : partir des hypothèses, en déduire la conclusion étape par étape
- Preuve par contraposée : pour montrer A ⇒ B, on montre (non B) ⇒ (non A)
- Preuve par l'absurde : supposer le contraire de ce qu'on veut prouver, et arriver à une contradiction
- Preuve par récurrence : pour une propriété P(n) avec n ∈ ℕ, montrer P(0) puis P(n) ⇒ P(n+1)
Chacune a son terrain de jeu favori. Voyons comment les reconnaître.
🎛️ La récurrence en action (chute de dominos)
La récurrence est la plus puissante (et la plus testée au BAC SM). Sa logique : si tu sais qu'un domino tombe (initialisation) et que chaque domino fait tomber le suivant (hérédité), alors tous les dominos tomberont.
🎛️ Récurrence par dominos
Pousse le premier domino. Observe la chute en cascade — c'est exactement la récurrence.
Pousse P(0). Si l'hérédité est vraie (le domino n pousse le n+1), tous tomberont.
📐 Le schéma rigoureux d'une récurrence (BAC SM)
Pour démontrer une propriété P(n) pour tout n ≥ n₀ par récurrence, il faut toujours trois étapes :
- Initialisation : vérifier que P(n₀) est vraie (souvent P(0) ou P(1))
- Hérédité : supposer P(n) vraie pour un n quelconque ≥ n₀, et démontrer que P(n+1) en découle
- Conclusion : par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀
Erreur classique : oublier l'initialisation. Sans elle, ta démonstration peut être valide pour une propriété fausse (exemple piège : « 0 = 1 » est héréditaire, mais pas initialisable : 0 ≠ 1).
🔄 Exemple complet (BAC SM type)
Énoncé : démontrer que pour tout n ∈ ℕ : 1 + 2 + 3 + … + n = .
Démonstration par récurrence :
- Initialisation (n = 0) : somme à gauche = 0. À droite : 0·(0+1)/2 = 0. ✓
- Hérédité : supposons P(n) vraie. Alors 1 + 2 + … + n + (n+1) = + (n+1) = = . ✓
- Conclusion : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ. ∎
🪞 La contraposée : changer de point d'attaque
Pour démontrer A ⇒ B, on peut équivalentement démontrer (non B) ⇒ (non A). C'est utile quand A est compliqué mais (non B) est simple.
Exemple type : « Si n² est pair, alors n est pair ».
- Contraposée : « Si n n'est pas pair, alors n² n'est pas pair ».
- Démonstration directe : n impair = 2k+1, donc n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, impair. ✓
- Par contraposée, l'implication originale est vraie. ∎
💥 L'absurde : faire exploser le contraire
Pour démontrer une propriété P, on suppose non P et on déduit une contradiction (par exemple, 0 = 1, ou 2 + 2 = 5). Conclusion : P doit être vraie.
Exemple culte : démontrer que est irrationnel (vu dans le concept Atlas « Carrés et racines »). On suppose = p/q irréductible, et on arrive à p et q tous deux pairs — contradiction.
Quand utiliser l'absurde ? Quand la propriété est de la forme « il n'existe pas » ou « ce truc est impossible ». L'absurde permet d'attaquer ces énoncés par l'autre côté.
➡️ La preuve directe : la plus fréquente
La preuve directe, c'est le « par défaut » : on part des hypothèses, on applique des théorèmes, des définitions, des règles de calcul, et on arrive à la conclusion. Pas de retournement, pas de supposition contre-intuitive.
80% des démonstrations du BAC SM sont des preuves directes. Mais quand elles ne marchent pas (souvent quand l'énoncé est trop compliqué pour être attaqué « de face »), les 3 autres techniques deviennent essentielles.
🎯 Comment choisir la bonne méthode ?
- Propriété sur ℕ avec « pour tout n » → tente la récurrence
- Énoncé de type « si … alors » avec hypothèse compliquée → tente la contraposée
- Énoncé de type « il n'existe pas / impossible / unique » → tente l'absurde
- Autre → essaie d'abord la preuve directe. Si ça ne marche pas, reviens aux 3 autres.
🎓 Au programme BAC SM
Les méthodes de preuve sont au cœur du programme dès la 1BAC SM, dans le chapitre Logique. On y voit :
- Implication, équivalence : A ⇒ B, A ⇔ B
- Négation : lien crucial pour la contraposée et l'absurde
- Raisonnement par contraposition
- Raisonnement par l'absurde
- Raisonnement par récurrence (en 2BAC SM principalement)
- Quantificateurs ∀, ∃ : indispensables pour formuler ce qu'on veut prouver
🧠 Réflexion finale
Les méthodes de preuve sont à la démonstration ce que les gammes sont à la musique : tu ne joueras pas un concerto sans les avoir intériorisées. Avec un peu de pratique, tu reconnaîtras d'instinct quelle méthode appliquer en lisant un énoncé.
Ce qui sépare un élève moyen d'un excellent élève au BAC SM n'est pas le nombre de formules mémorisées. C'est la capacité à structurer une démonstration claire. Et ça, ça s'apprend en pratiquant ces 4 méthodes jusqu'à les avoir dans les doigts.
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