🎛️ Les n racines de l'unité forment un polygone régulier
Change n pour voir comment les solutions de = 1 se répartissent uniformément sur le cercle unité.
n = 2 (segment), n = 3 (triangle), n = 4 (carré), n = 6 (hexagone)…
Angle entre racines
2/5 = 72°
Module de chaque racine
1
Somme des racines
0
Avec n = 5, les solutions de = 1 forment un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité.
🎯 Le problème : comment résoudre = 1 ?
Dans , l'équation = 1 a une seule solution : x = 1. Dans , c'est différent. Le théorème fondamental de l'algèbre dit qu'un polynôme de degré n a exactement n racines complexes. Donc = 1 doit avoir trois solutions. Quelles sont-elles ?
Si tu écris z = a + ib et tu développes (a + ib)³ = 1, tu vas te noyer en calcul algébrique. Il faut une autre approche. La forme trigonométrique des complexes rend ça trivial.
🔄 Le truc : tout complexe est une rotation
Tout nombre complexe z s'écrit sous forme trigonométrique :
z = r (cos + i sin )
Où r = |z| est le module (distance à l'origine) et = arg(z) est l'argument (angle avec l'axe des réels positifs). Géométriquement, z est le point obtenu en partant de (1, 0), en multipliant par r (zoom), puis en tournant de .
Multiplier deux complexes en forme trigonométrique :
On multiplie les modules et on additionne les arguments.
= ( ) (cos(₁ + ₂) + i sin(₁ + ₂))
⚡ La formule de Moivre (1722)
Si z = cos + i sin (donc de module 1), alors par récurrence sur l'identité précédente :
(cos + i sin )n = cos(n) + i sin(n)
Abraham de Moivre, 1722
Élever à la puissance n revient à multiplier l'angle par n. Le point fait n tours autour du cercle. Cette formule est l'une des plus utilisées au BAC SM 2ème année et l'outil de base pour toutes les questions sur les racines n-ièmes.
🌟 Les racines n-ièmes de l'unité
Cherchons les solutions de zn = 1. Écris z = r(cos + i sin ). Par Moivre :
zn = rn(cos(n) + i sin(n)) = 1
Le complexe 1 a module 1 et argument 0 (modulo 2). Donc :
- Module : rn = 1, donc r = 1 (puisque r 0).
- Argument : n ≡ 0 (mod 2), donc = 2k/n pour k = 0, 1, 2, …, n−1.
On obtient donc exactement n solutions :
zk = cos(2k/n) + i sin(2k/n) pour k = 0, 1, …, n−1
Ces n points sont équidistants sur le cercle unité, séparés d'un angle de 2/n. Ils forment un polygone régulier à n sommets inscrit dans le cercle unité. C'est l'un des résultats les plus élégants des mathématiques.
📐 Les cas particuliers à connaître par cœur
- n = 2 : = 1 z {1, −1} (segment horizontal).
- n = 3 : = 1 z {1, j, } où j = ei2/3 = −1/2 + i/2 (triangle équilatéral). Propriété culte : 1 + j + = 0.
- n = 4 : = 1 z {1, i, −1, −i} (carré).
- n = 6 : = 1 6 racines, dont les 3 racines cubiques et les opposées (hexagone régulier).
🎓 Comment Moivre tombe au BAC SM
1. Résoudre = a (avec a complexe quelconque)
Méthode universelle : écris a sous forme exponentielle a = ei. Les n solutions sont :
zk = 1/n ei( + 2k)/n pour k = 0, …, n−1
2. Linéariser cos(n) et sin(n)
Par exemple, exprimer cos(3) en fonction de cos . Tu développes (cos + i sin )³ par le binôme, tu prends la partie réelle, et tu obtiens cos(3) = 4co − 3cos . Classique au bac.
3. Calculer (1 + i)ⁿ ou des puissances similaires
On passe par la forme exponentielle : 1 + i = ei/4. Donc (1 + i)¹⁰⁰ = ei25. Or 25 ≡ (mod 2), donc (1 + i)¹⁰⁰ = −. Sans calculatrice. Sans calcul algébrique fastidieux.
⚠️ Les pièges classiques
- Confondre cos(n) avec (cos )ⁿ. Moivre dit que (cos + i sin )ⁿ = cos(n) + i sin(n). Mais (cos )ⁿ cos(n) en général.
- Oublier le modulo 2. Si tu trouves un argument de 47/12, simplifie en 47/12 − 2 = 23/12 pour rester dans (−, ].
- Module négatif impossible. r est toujours 0. Si tu trouves r = −2, c'est que tu as une erreur de signe — utilise plutôt arg + pour basculer.
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