🟥 Une question d'enfant
Tu as un carré dont le côté mesure 1. Quelle est la longueur de sa diagonale ? D'après Pythagore, c'est . Pas de souci.
Maintenant la vraie question : écris sous forme de fraction p/q, avec p et q entiers. Tu vas essayer : 1,4 = 14/10. Non, c'est trop petit (1,4² = 1,96). Essaie 1,41 = 141/100… 1,4142… 1,41421356… Quoi que tu essaies, tu n'y arriveras jamais. Et il y a une raison mathématique précise à ça.
🎛️ Visualise √2 comme diagonale
Voici le carré unité et sa diagonale. Mesure la diagonale en grossissant l'image : peu importe la précision, tu ne tomberas jamais sur un nombre exact à virgule finie.
🎛️ Démonstration géométrique
Le côté est l'unité. La diagonale mesure √2 ≈ 1,414213562… (jamais une fraction exacte)
Approximation décimale
√2 ≈ 1.4142135624
📜 Démonstration que √2 est irrationnel
La démonstration la plus célèbre des mathématiques de l'Antiquité. Par l'absurde :
- Supposons que = , avec p et q entiers premiers entre eux (fraction irréductible).
- Alors 2 = , donc p² = 2q².
- p² est pair (égal à 2q²), donc p est pair (car le carré d'un impair est impair).
- Écrivons p = 2k. Alors p² = 4k², donc 4k² = 2q², donc q² = 2k².
- q² est pair, donc q est pair.
- Mais alors p et q sont tous les deux pairs, donc divisibles par 2 — contradiction avec « premiers entre eux ». ∎
Cette démonstration date du Vᵉ siècle av. J.-C. et est attribuée à Hippase de Métaponte, membre de la confrérie pythagoricienne.
⚰️ Le drame d'Hippase
Les Pythagoriciens étaient une secte philosophico-mathématique qui voyait dans les nombres entiers et leurs rapports (les nombres rationnels) la structure même de l'univers. « Tout est nombre » était leur devise. Et par « nombre », ils entendaient strictement entier ou rationnel.
🧮 Les irrationnels après Hippase
Une fois la première fissure ouverte, les autres irrationnels suivent :
- , , , … (toute racine d'un entier non carré parfait)
- π (rapport circonférence / diamètre — voir concept Atlas π)
- e (base des logarithmes — voir concept Atlas Le nombre e)
- φ (nombre d'or — voir concept Atlas Nombre d'or)
- + , et infiniment d'autres
Cantor démontrera plus tard que la plupart des nombres réels sont irrationnels. Les rationnels, finalement, sont l'exception.
📐 Propriétés essentielles à connaître (BAC SM)
(pour a, b ≥ 0)
(pour a ≥ 0, b > 0)
(pour a ≥ 0)
(pour tout a)
Piège classique : ≠ . Tester avec a = 9, b = 16 : = 5, mais + = 3 + 4 = 7. Pas égaux.
🎯 L'identité du carré (à savoir absolument)
Les identités remarquables sont une conséquence directe de la définition du carré :
Tu rencontreras ces identités tous les jours au BAC SM. Apprends-les comme un réflexe — les voir et les utiliser sans réfléchir.
🎓 Carrés et racines au programme BAC SM
- Définition : pour a ≥ 0, est l'unique réel positif dont le carré vaut a
- Propriétés algébriques : produit, quotient, puissance
- Équations de degré 2 : discriminant Δ = b² − 4ac, solutions
- Inéquations : étudier le signe de fonctions du second degré
- Norme d'un vecteur :
- Module d'un complexe : |z| =
🧠 Réflexion finale
L'histoire de √2 illustre une vérité profonde : les mathématiques découvrent autant qu'elles inventent. Hippase n'a pas inventé les irrationnels. Il les a découverts, comme on découvre une planète, et il l'a fait simplement en suivant les conséquences logiques d'un théorème déjà connu.
Et parfois, ce qu'on découvre détruit la vision du monde qu'on avait jusque-là. C'est ce qui rend ce métier si passionnant — et si dangereux pour les certitudes.
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