I. Plan d'étude d'une fonction (méthode en 7 étapes)

1. Domaine de définition $D_f$
2. Parité, périodicité (si pertinent) pour réduire l'étude
3. Limites aux bornes du domaine
4. Dérivabilité et calcul de $f^{\prime }(x)$
5. Signe de $f^{\prime }$ et tableau de variations
6. Asymptotes (verticales, horizontales, obliques)
7. Tracé de la courbe $C_f$

II. Asymptote oblique

Comment trouver $a$ et $b$ ?

1. $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$
2. $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-ax)$

Si les deux limites existent et sont finies, $C_f$ admet l'asymptote oblique $y=ax+b$.

III. Position relative courbe / asymptote

Étudier le signe de $f(x)-(ax+b)$ :

• $>0$ : $C_f$ au-dessus de l'asymptote
• $<0$ : $C_f$ en dessous
• $=0$ : intersection (rare)

IV. Centre de symétrie / Axe de symétrie

Axe de symétrie

$C_f$ admet la droite $x=a$ comme axe de symétrie ssi $\forall h$ tel que $a+h,a-h\in D_f$ :

$$f(a+h)=f(a-h)$$

Centre de symétrie

$C_f$ admet $\Omega (a,b)$ comme centre de symétrie ssi :

$$f(a+h)+f(a-h)=2b$$

V. Branches infinies

Quand $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$, on étudie :

1. Si $\lim \frac{f(x)}{x}=\infty$ : branche parabolique de direction $(Oy)$
2. Si $\lim \frac{f(x)}{x}=0$ : branche parabolique de direction $(Ox)$
3. Si $\lim \frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ et $\lim (f(x)-ax)=b$ : asymptote oblique $y=ax+b$
4. Si $\lim \frac{f(x)}{x}=a$ et $\lim (f(x)-ax)=\infty$ : direction asymptotique $y=ax$

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Étudier la fonction $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.

Solution :

$D_f={\mathbb{R}}^{\ast }$. Impaire car $f(-x)=-f(x)$. On étudie sur $]0,+\infty [$.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ → asymptote verticale $x=0$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, $\frac{f(x)}{x}=1+\frac{1}{x^2}\to 1$, $f(x)-x=\frac{1}{x}\to 0$.
Donc asymptote oblique $y=x$ en $+\infty$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$.
$f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 1$. Signe de $f^{\prime }$ : $f^{\prime }(x)>0$ sur $]1,+\infty [$, $f^{\prime }(x)<0$ sur $]0,1[$.
Minimum local en $x=1$ : $f(1)=2$.

VII. Top 5 pièges à éviter

1. Calculer la limite avant de simplifier. Toujours simplifier d'abord.
2. Confondre direction asymptotique et asymptote oblique. Direction = pente seulement. Asymptote = pente + ordonnée à l'origine.
3. Oublier la position relative courbe/asymptote dans la conclusion graphique.
4. Tracer la courbe sans tableau de variations.
5. Ne pas vérifier que $f$ est continue / dérivable avant d'utiliser ces propriétés.