Mathématiques financières — Résumé de cours

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📊 En Sciences Économiques : les mathématiques financières sont l'application directe des maths à la banque, l'épargne et le crédit (intérêts, escompte, annuités, amortissement).

Mathématiques financières

Les mathématiques financières appliquent les pourcentages, les proportions et les suites à des situations concrètes : achats, ventes, crédits, placements d'argent. Ce chapitre constitue une base essentielle pour la filière Sciences Économiques.

1. Pourcentages et variations

Pourcentage. Appliquer un pourcentage $t %$ à une quantité $V$ revient à multiplier $V$ par $\frac{t}{100}$ . Ainsi $t %$ de $V$ vaut $V \times \frac{t}{100}$ .

Taux d'évolution

Quand une grandeur passe d'une valeur initiale $V_{0}$ à une valeur finale $V_{1}$ , le taux d'évolution (ou taux de variation) mesure la variation relative.

Taux d'évolution : $t = \frac{V _{1} - V _{0}}{V _{0}} \times 100$ (en %).

Si $t > 0$ : il s'agit d'une hausse. Si $t < 0$ : il s'agit d'une baisse.

Coefficient multiplicateur

Plutôt que d'additionner ou soustraire un pourcentage, on multiplie par un coefficient multiplicateur (CM).

Hausse de t % : C M = 1 + \frac{t}{100} Baisse de t % : C M = 1 - \frac{t}{100}

La valeur finale se calcule directement : $V_{1} = V_{0} \times C M$ .

Évolutions successives

Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients (on ne les additionne jamais).

C M_{global} = C M_{1} \times C M_{2} \times \dots \times C M_{n}

2. Intérêts simples

Intérêt simple. Un capital $C$ placé au taux annuel $t %$ produit un intérêt calculé toujours sur le capital initial. L'intérêt n'est jamais ajouté au capital pendant le placement.

Pour une durée de $n$ années : $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ .

Pour une durée de $m$ mois : $I = \frac{C \times t \times m}{1200}$ .

Pour une durée de $j$ jours (année commerciale de 360 jours) : $I = \frac{C \times t \times j}{36000}$ .

3. Valeur acquise à intérêts simples

Valeur acquise. C'est la somme dont on dispose à la fin du placement : le capital initial augmenté des intérêts.

A = C + I = C (1 + \frac{t \times n}{100})

4. Escompte commercial simple

Escompte commercial. Quand un commerçant possède un effet de commerce (une traite) de valeur nominale $V$ payable plus tard, il peut le remettre à la banque avant l'échéance pour obtenir de l'argent immédiatement. La banque retient un escompte $e$ , calculé comme un intérêt simple sur la valeur nominale.

Escompte : $e = \frac{V \times t \times j}{36000}$ (durée $j$ en jours, taux annuel $t %$ ).

Valeur actuelle (ou valeur escomptée) : $a = V - e$ .

5. Taux moyen de placement

Taux moyen. Lorsque plusieurs capitaux sont placés à des taux différents, le taux moyen $t_{m}$ est le taux unique qui, appliqué à l'ensemble, donnerait le même intérêt total.

t_{m} = \frac{C _{1} t _{1} + C _{2} t _{2} + \dots + C _{n} t _{n}}{C _{1} + C _{2} + \dots + C _{n}}

Le taux moyen est donc une moyenne pondérée des taux par les capitaux.

6. Introduction aux intérêts composés

Intérêts composés. À la fin de chaque période, l'intérêt est ajouté au capital : on dit qu'il est capitalisé. La période suivante, les intérêts portent sur ce nouveau capital, plus grand. On parle d'« intérêts qui produisent des intérêts ».

Valeur acquise après $n$ périodes au taux $t %$ par période :

A_{n} = C_{0} (1 + \frac{t}{100})^{n}

La suite des capitaux $(C_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ .

Exemples résolus

Exemple 1 — Évolutions successives

Un article coûte $200$ DH. Son prix augmente de $10%$ , puis baisse de $5%$ . Quel est le prix final ?

Solution. Coefficients : hausse $C M_{1} = 1 + \frac{10}{100} = 1, 10$ ; baisse $C M_{2} = 1 - \frac{5}{100} = 0, 95$ .

Coefficient global : $C M = 1, 10 \times 0, 95 = 1, 045$ . Prix final : $200 \times 1, 045 = 209$ DH.

Le taux d'évolution global est $+ 4, 5%$ (et non $+ 5%$ ).

Exemple 2 — Valeur acquise à intérêts simples

On place $C = 8000$ DH au taux annuel $t = 6%$ pendant $9$ mois. Calculer l'intérêt et la valeur acquise.

Solution. Intérêt : $I = \frac{8000 \times 6 \times 9}{1200} = \frac{432000}{1200} = 360$ DH.

Valeur acquise : $A = C + I = 8000 + 360 = 8360$ DH.

🔑 Formules clés à retenir

$t % de V = V \times \frac{t}{100}$ — appliquer un pourcentage à une quantité
$t = \frac{V _{1} - V _{0}}{V _{0}} \times 100$ — taux d'évolution en % entre $V_{0}$ et $V_{1}$
$C M = 1 + \frac{t}{100}$ — coefficient multiplicateur d'une hausse de $t %$
$C M = 1 - \frac{t}{100}$ — coefficient multiplicateur d'une baisse de $t %$
$V_{1} = V_{0} \times C M$ — valeur finale à partir du coefficient multiplicateur
$C M_{global} = C M_{1} \times C M_{2} \times \dots \times C M_{n}$ — évolutions successives (on multiplie)
$I = \frac{C \times t \times n}{100}$ — intérêt simple sur $n$ années
$I = \frac{C \times t \times m}{1200}$ — intérêt simple sur $m$ mois
$I = \frac{C \times t \times j}{36000}$ — intérêt simple sur $j$ jours (année de 360 jours)
$A = C + I = C (1 + \frac{t \times n}{100})$ — valeur acquise à intérêts simples
$e = \frac{V \times t \times j}{36000}$ — escompte commercial simple
$a = V - e$ — valeur actuelle (escomptée) d'un effet de commerce
$t_{m} = \frac{C _{1} t _{1} + C _{2} t _{2} + \dots + C _{n} t _{n}}{C _{1} + C _{2} + \dots + C _{n}}$ — taux moyen (moyenne pondérée)
$A_{n} = C_{0} (1 + \frac{t}{100})^{n}$ — valeur acquise à intérêts composés après $n$ périodes
$q = 1 + \frac{t}{100}$ — raison de la suite géométrique des capitaux (intérêts composés)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Pour des évolutions successives, ne jamais additionner les pourcentages. Une hausse de $10%$ suivie d'une baisse de $10%$ ne ramène pas au prix de départ : $1, 10 \times 0, 90 = 0, 99$ , soit une baisse globale de $1%$ .

✅

Travaillez toujours avec les coefficients multiplicateurs : une hausse de $t %$ donne $1 + \frac{t}{100}$ , une baisse donne $1 - \frac{t}{100}$ . Il suffit ensuite de les multiplier entre eux.

❌

Confondre le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur. Si $C M = 1, 25$ , l'évolution est de $+ 25%$ , pas de $+ 125%$ . On lit l'évolution sur la partie après la virgule (en %).

✅

Pour retrouver le taux à partir d'un coefficient : $t = (C M - 1) \times 100$ . Exemple : $C M = 0, 92 \Rightarrow t = - 8%$ (baisse de $8%$ ).

❌

Erreur de dénominateur en intérêts simples : on divise par $100$ pour des années, par $1200$ pour des mois, par $36000$ pour des jours. Mélanger les unités fausse tout le calcul.

✅

Astuce mémoire : $1200 = 100 \times 12$ (mois) et $36000 = 100 \times 360$ (jours). En finance commerciale, l'année compte $360$ jours, pas $365$ .

❌

Le taux moyen n'est pas la moyenne simple des taux. Si les capitaux sont différents, il faut pondérer chaque taux par son capital.

✅

Vérifiez votre taux moyen : il doit toujours être compris entre le plus petit et le plus grand des taux utilisés. S'il sort de cet intervalle, il y a une erreur.

❌

Confondre intérêts simples et composés. En simples, l'intérêt porte toujours sur le capital initial. En composés, il porte sur le capital augmenté des intérêts précédents (donc plus élevé).

✅

Pour les intérêts composés, pensez « suite géométrique » : chaque année on multiplie par $q = 1 + \frac{t}{100}$ . La valeur acquise est $C_{0} \times q^{n}$ .

✅

Dans un problème d'escompte, la valeur nominale $V$ est ce qu'on encaisserait à l'échéance ; la valeur actuelle $a = V - e$ est ce qu'on reçoit aujourd'hui. On reçoit donc toujours moins que la valeur nominale.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Mathématiques financières

Type 1 : Calculer un pourcentage et un pourcentage d'évolution

Quand ? On demande une part, une augmentation ou une réduction exprimée en $%$ .

Pour $t %$ d'une quantité $C$ : calcule $C \times \frac{t}{100}$ .
Augmentation de $t %$ : multiplie par le coefficient $(1 + \frac{t}{100})$ .
Diminution de $t %$ : multiplie par $(1 - \frac{t}{100})$ .
Taux d'évolution : $t = \frac{V _{finale} - V _{initiale}}{V _{initiale}} \times 100$ .

Exemple éclair : Un prix de $200$ DH augmente de $15%$ : $200 \times 1, 15 = 230$ DH.

Type 2 : Calculer un intérêt simple

Quand ? Un capital est placé à intérêt simple (l'intérêt ne se rajoute pas au capital).

Identifie le capital $C$ , le taux annuel $t %$ et la durée $n$ (en années).
Applique : $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ .
Si la durée est en mois : remplace par $\frac{C \times t \times n}{1200}$ ; en jours : $\frac{C \times t \times n}{36000}$ .

Exemple éclair : $C = 5000$ DH, $t = 6%$ , $n = 2$ ans : $I = \frac{5000 \times 6 \times 2}{100} = 600$ DH.

Type 3 : Calculer la valeur acquise à intérêt simple

Quand ? On demande la somme totale (capital + intérêts) après le placement à intérêt simple.

Calcule d'abord l'intérêt $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ .
Ajoute l'intérêt au capital : valeur acquise $A = C + I$ .
Ou directement : $A = C (1 + \frac{t \times n}{100})$ .

Exemple éclair : $C = 5000$ DH, $I = 600$ DH : $A = 5000 + 600 = 5600$ DH.

Type 4 : Calculer la valeur acquise à intérêts composés

Quand ? Le placement est à intérêts composés : chaque période, l'intérêt s'ajoute au capital (capitalisation).

Identifie $C_{0}$ (capital initial), $t %$ (taux par période) et $n$ (nombre de périodes).
Applique la formule de capitalisation : $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{t}{100})^{n}$ .
Calcule la puissance puis multiplie.

Exemple éclair : $C_{0} = 1000$ DH, $t = 5%$ , $n = 3$ : $C_{3} = 1000 \times (1, 05)^{3} \approx 1157, 63$ DH.

Type 5 : Calculer la valeur actuelle (actualisation)

Quand ? On connaît une somme future et on cherche sa valeur aujourd'hui (intérêts composés).

Pars de $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{t}{100})^{n}$ .
Isole $C_{0}$ : $C_{0} = \frac{C _{n}}{( 1 + \frac{t}{100} ) ^{n}} = C_{n} (1 + \frac{t}{100})^{- n}$ .
Calcule la valeur actuelle.

Exemple éclair : $C_{n} = 1157, 63$ DH, $t = 5%$ , $n = 3$ : $C_{0} = \frac{1157 , 63}{( 1 , 05 ) ^{3}} \approx 1000$ DH.

Type 6 : Calculer l'escompte commercial

Quand ? Un effet de commerce de valeur nominale $V$ est négocié avant son échéance.

Identifie la valeur nominale $V$ , le taux d'escompte $t %$ et la durée $n$ jusqu'à l'échéance.
Calcule l'escompte (intérêt retenu) : $e = \frac{V \times t \times n}{36000}$ (durée $n$ en jours).
Calcule la valeur actuelle commerciale : $a = V - e$ .

Exemple éclair : $V = 10000$ DH, $t = 12%$ , $n = 90$ jours : $e = \frac{10000 \times 12 \times 90}{36000} = 300$ DH, donc $a = 9700$ DH.

Type 7 : Retrouver une inconnue (taux, durée ou capital)

Quand ? On connaît l'intérêt (ou la valeur acquise) et il manque le taux, la durée ou le capital.

Écris la formule adaptée ( $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ ou la formule composée).
Remplace les valeurs connues.
Isole l'inconnue par les opérations inverses.
Calcule et conclus (en n'oubliant pas l'unité : $%$ , années, DH).

Exemple éclair : $I = 600$ , $C = 5000$ , $n = 2$ : $t = \frac{100 \times I}{C \times n} = \frac{100 \times 600}{5000 \times 2} = 6%$ .

Mathématiques financières — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

10 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 10 corrigés

Exercices Faciles

4 exercices

Calcul d'un pourcentage

Facile

Corrigé

Énoncé

Dans une classe de

40

élèves,

35%

sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Taux d'évolution

Facile

Corrigé

Énoncé

Le prix d'un produit passe de

250

DH à

300

DH. Calculer le taux d'évolution.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Coefficient multiplicateur

Facile

Corrigé

Énoncé

Un salaire de

6000

DH augmente de

4%

. Calculer le nouveau salaire à l'aide du coefficient multiplicateur.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Intérêt simple sur plusieurs mois

Facile

Corrigé

Énoncé

On place

C = 12000

DH au taux annuel

t = 5%

pendant

8

mois. Calculer l'intérêt simple.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

6 exercices

Intérêts composés

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

Un capital de

5000

DH est placé à intérêts composés au taux annuel de

10%

pendant

3

ans. Calculer la valeur acquise

A_{3}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Évolutions successives

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

Le prix d'un téléphone augmente de

15%

, puis baisse de

20%

. Déterminer le coefficient global et le taux d'évolution global.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Valeur acquise à intérêts simples

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

Un capital de

15000

DH est placé à

4, 5%

par an pendant

2

ans à intérêts simples. Calculer la valeur acquise

A

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Retrouver la durée

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

Un capital de

20000

DH placé à

6%

par an a rapporté un intérêt simple de

900

DH. Pendant combien de mois a-t-il été placé ?

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Escompte commercial

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

Un effet de commerce de valeur nominale

V = 18000

DH est escompté

60

jours avant l'échéance au taux de

9%

. Calculer l'escompte

e

et la valeur actuelle

a

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Taux moyen de placement

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

On place

C_{1} = 10000

DH à

5%

C_{2} = 30000

DH à

7%

. Calculer le taux moyen

t_{m}

de ces deux placements.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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Mathématiques financières

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1. Pourcentages et variations

Taux d'évolution

Coefficient multiplicateur

Évolutions successives

2. Intérêts simples

3. Valeur acquise à intérêts simples

4. Escompte commercial simple

5. Taux moyen de placement

6. Introduction aux intérêts composés

Exemples résolus

Exemple 1 — Évolutions successives

Exemple 2 — Valeur acquise à intérêts simples

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

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Type 1 : Calculer un pourcentage et un pourcentage d'évolution

Type 2 : Calculer un intérêt simple

Type 3 : Calculer la valeur acquise à intérêt simple

Type 4 : Calculer la valeur acquise à intérêts composés

Type 5 : Calculer la valeur actuelle (actualisation)

Type 6 : Calculer l'escompte commercial

Type 7 : Retrouver une inconnue (taux, durée ou capital)

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Exercices Faciles

Calcul d'un pourcentage

Taux d'évolution

Coefficient multiplicateur

Intérêt simple sur plusieurs mois

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Intérêts composés

Évolutions successives

Valeur acquise à intérêts simples

Retrouver la durée

Escompte commercial

Taux moyen de placement

Exercices supplémentaires

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