Statistique (séries à 2 variables) — Résumé de cours

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Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : la statistique résume et analyse des données économiques : moyenne, écart-type, séries de prix ou de ventes.

I. Série statistique double

Définition

Une série statistique double est la donnée de $n$ couples $(x_{i}, y_{i})$ représentant 2 caractères mesurés sur une même population.

Nuage de points

On représente les couples $(x_{i}, y_{i})$ dans un repère cartésien. L'ensemble des points est appelé nuage de points.

II. Point moyen

Le point moyen $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ d'une série double a pour coordonnées :

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}, \overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n y_{i}$

III. Variance et écart-type

Variance de $x$ : $V (x) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$
Écart-type de $x$ : $σ (x) = V (x)$
Idem pour $V (y)$ et $σ (y)$ .

IV. Covariance

Définition

La covariance du couple $(x, y)$ est :

$Cov (x, y) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) (y_{i} - \overset{y}{ˉ}) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

V. Ajustement affine par les moindres carrés

Droite de régression de $y$ en $x$

La meilleure droite ajustant le nuage de points est $y = a x + b$ avec :

$a = \frac{Cov ( x , y )}{V ( x )}, b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$

Cette droite passe toujours par le point moyen $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .

VI. Coefficient de corrélation linéaire

Définition

$r = \frac{Cov ( x , y )}{σ ( x ) \cdot σ ( y )}$

Propriété : $- 1 \leq r \leq 1$ .

$r \approx 1$ : forte corrélation positive (croissante)
$r \approx - 1$ : forte corrélation négative (décroissante)
$r \approx 0$ : pas de corrélation linéaire (le nuage n'est pas alignable)
En pratique, on considère qu'il y a une bonne corrélation linéaire si $∣ r ∣ > 0, 9$ .

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : On a relevé les notes en maths ( $x$ ) et physique ( $y$ ) de 5 élèves :

$x_{i}$	10	12	14	15	18
$y_{i}$	11	13	13	16	17

Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ .

Solution :

$\overset{x}{ˉ} = (10 + 12 + 14 + 15 + 18) /5 = 13, 8$ . $\overset{y}{ˉ} = (11 + 13 + 13 + 16 + 17) /5 = 14$ .

Calcul de Cov $(x, y)$ : $\frac{1}{5} (10 \cdot 11 + 12 \cdot 13 + 14 \cdot 13 + 15 \cdot 16 + 18 \cdot 17) - 13, 8 \cdot 14$
$= \frac{110 + 156 + 182 + 240 + 306}{5} - 193, 2 = 198, 8 - 193, 2 = 5, 6$

Calcul de $V (x) = \frac{1}{5} (100 + 144 + 196 + 225 + 324) - 13, 8^{2} = 197, 8 - 190, 44 = 7, 36$ .

$a = 5, 6/7, 36 \approx 0, 76$ .
$b = 14 - 0, 76 \times 13, 8 \approx 3, 5$ .
Droite de régression : $y \approx 0, 76 x + 3, 5$ .

VIII. Top 4 pièges à éviter

Confondre variance et écart-type. $σ = V$ .
Diviser par $n - 1$ au lieu de $n$ . Au lycée marocain, c'est $n$ (variance brute).
Oublier de vérifier la qualité de l'ajustement avec $r$ avant de conclure.
Confondre $a$ (pente) et $b$ (ordonnée à l'origine) dans la formule.

📈 Figure clé

Nuage de points et droite d'ajustement (régression)

🔑 Formules clés à retenir

Moyennes : $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ , $\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum y_{i}$

Variance : $V (x) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$

Covariance : $Cov (x, y) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

Droite de régression : $y = a x + b$

$a = Cov (x, y) / V (x)$
$b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$
Passe par $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$

Coefficient corrélation :

$r = Cov (x, y) / (σ (x) σ (y))$ , avec $∣ r ∣ \leq 1$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Calcule $\overset{x}{ˉ}$ et $\overset{y}{ˉ}$ EN PREMIER. Toutes les autres formules en dépendent.
🎯 Vérifie ton résultat : la droite de régression DOIT passer par $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .
🎯 Si $∣ r ∣ < 0, 9$ , l'ajustement linéaire est peu fiable. Mentionne-le dans ta conclusion.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Statistique (séries à deux variables)

Type 1 : Construire le nuage de points

Quand ? On dispose d'une série double $(x_{i}, y_{i})$ et on demande la représentation graphique.

Choisis un repère et des échelles adaptées aux valeurs de $x$ et de $y$ .
Place chaque couple $(x_{i}, y_{i})$ comme un point $M_{i}$ du plan.
Observe la forme du nuage : s'il est allongé selon une droite, un ajustement affine est pertinent.

Exemple éclair : Pour les couples $(1, 2), (2, 3), (3, 5)$ , on place trois points qui s'alignent approximativement.

Type 2 : Calculer le point moyen

Quand ? On demande le point moyen $G$ du nuage (la droite de régression passe toujours par ce point).

Calcule la moyenne des $x$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ .
Calcule la moyenne des $y$ : $\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum y_{i}$ .
Le point moyen est $G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ .

Exemple éclair : Pour $x : 1, 2, 3$ et $y : 2, 3, 5$ : $\overset{x}{ˉ} = 2$ , $\overset{y}{ˉ} = \frac{10}{3}$ , donc $G (2; \frac{10}{3})$ .

Type 3 : Calculer la variance et l'écart-type

Quand ? On a besoin de $V (x)$ ou $σ_{x}$ pour la covariance, la corrélation ou la régression.

Applique la formule de la variance : $V (x) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ .
Calcule de même $V (y) = \frac{1}{n} \sum y_{i}^{2} - \overset{y}{ˉ}^{2}$ .
L'écart-type est $σ_{x} = V (x)$ (et $σ_{y} = V (y)$ ).

Exemple éclair : Si $\frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} = 5$ et $\overset{x}{ˉ} = 2$ , alors $V (x) = 5 - 4 = 1$ et $σ_{x} = 1$ .

Type 4 : Calculer la covariance

Quand ? Étape indispensable avant la droite de régression et le coefficient de corrélation.

Calcule $\frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i}$ (moyenne des produits).
Applique la formule : $cov (x, y) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$ .
Le signe de la covariance indique le sens de la liaison (positif : $y$ croît avec $x$ ).

Exemple éclair : Si $\frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} = 8$ , $\overset{x}{ˉ} = 2$ , $\overset{y}{ˉ} = 3$ , alors $cov (x, y) = 8 - 6 = 2$ .

Type 5 : Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$

Quand ? On demande l'équation $y = a x + b$ de la droite d'ajustement par les moindres carrés.

Calcule le coefficient directeur : $a = \frac{cov ( x , y )}{V ( x )}$ .
Calcule l'ordonnée à l'origine : $b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$ (la droite passe par $G$ ).
Écris l'équation $y = a x + b$ .

Exemple éclair : $cov (x, y) = 2$ , $V (x) = 1$ , $\overset{x}{ˉ} = 2$ , $\overset{y}{ˉ} = 3$ : $a = 2$ , $b = 3 - 4 = - 1$ , donc $y = 2 x - 1$ .

Type 6 : Calculer le coefficient de corrélation

Quand ? On demande la qualité de l'ajustement affine (à quel point les points sont alignés).

Applique la formule : $r = \frac{cov ( x , y )}{σ _{x} σ _{y}}$ .
Calcule la valeur (toujours comprise entre $- 1$ et $1$ ).
Interprète : si $∣ r ∣$ est proche de $1$ , la corrélation est forte et l'ajustement affine justifié.

Exemple éclair : $cov (x, y) = 2$ , $σ_{x} = 1$ , $σ_{y} = 2, 1$ : $r = \frac{2}{1 \times 2 , 1} \approx 0, 95$ (forte corrélation).

Type 7 : Faire une prévision avec la droite de régression

Quand ? On demande d'estimer une valeur de $y$ pour un $x$ donné (ou l'inverse), souvent une projection future.

Reprends l'équation de la droite $y = a x + b$ .
Remplace $x$ par la valeur souhaitée.
Calcule $y$ : c'est la valeur estimée.
Si on connait $y$ et qu'on cherche $x$ , résous l'équation en $x$ .

Exemple éclair : Avec $y = 2 x - 1$ , pour $x = 6$ : $y = 2 \times 6 - 1 = 11$ .

Statistique (séries à 2 variables) — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

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8 exercices

Salaires d'une petite entreprise

Facile

Énoncé

Une petite entreprise emploie

8

salariés. Leurs salaires mensuels nets, en dirhams, sont :

3200, 3500, 3500, 4000, 4200, 4800, 5200, 7600.

1) Calculer le salaire moyen

\overset{x}{ˉ}

.
2) Déterminer la médiane

M_{e}

de cette série.
3) Comparer la moyenne et la médiane et interpréter économiquement.

Ma réponse

Statistique (séries à 2 variables)

Statistique (séries à 2 variables) — Résumé de cours

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Nuage de points

II. Point moyen

III. Variance et écart-type

IV. Covariance

Définition

V. Ajustement affine par les moindres carrés

Droite de régression de y en x

VI. Coefficient de corrélation linéaire

Définition

VII. Méthode BAC type 2024

VIII. Top 4 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Statistique (séries à deux variables)

Type 1 : Construire le nuage de points

Type 2 : Calculer le point moyen

Type 3 : Calculer la variance et l'écart-type

Type 4 : Calculer la covariance

Type 5 : Déterminer la droite de régression de y en x

Type 6 : Calculer le coefficient de corrélation

Type 7 : Faire une prévision avec la droite de régression

Statistique (séries à 2 variables) — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Salaires d'une petite entreprise

Prix d'un produit sur une semaine

Moyenne et variance

Calcul de variance par formule directe

Mode et médiane

Calcul moyenne pondérée

Point moyen

Moyenne pondérée

Exercices Intermédiaires

Ventes mensuelles d'un commerçant

Comparaison de deux points de vente

Augmentation uniforme des salaires

Médiane et quartiles

Coefficient de corrélation

Covariance par formule directe

Coefficient de corrélation

Covariance

Coefficient de corrélation

Estimation par la droite de régression

Variance par formule de König

Exercices supplémentaires

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Quiz — Statistique (séries à 2 variables)

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Droite de régression de $y$ en $x$

Type 5 : Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$