Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : les limites et la continuité analysent le comportement d'une fonction de coût ou de demande aux bornes (production nulle ou très élevée).

I. Rappels sur les limites

Limites usuelles à connaître par cœur

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \geq 1$ )
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ , $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$

II. Les 4 formes indéterminées

$\frac{0}{0}$ → factoriser par $(x - a)$ ou utiliser limites de référence
$\frac{\infty}{\infty}$ → factoriser par le terme dominant
$\infty - \infty$ → factoriser ou quantité conjuguée (si racines)
$0 \times \infty$ → transformer en $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$

III. Continuité

Définition

$f$ est continue en $a$ si $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

$f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Fonctions usuellement continues

Les polynômes sont continus sur $R$
Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine
$sin, cos, \cdot, exp$ continues sur leurs domaines
Somme, produit, composée de fonctions continues = continue

IV. Prolongement par continuité

Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais $x \to a lim f (x) = ℓ$ existe et est finie, on peut prolonger $f$ en posant $\tilde{f} (a) = ℓ$ . Le prolongement $\tilde{f}$ est continu en $a$ .

V. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

Corollaire (TVI strict / bijection)

Si $f$ est continue ET strictement monotone sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe un UNIQUE $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

Application classique au BAC SE

"Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution sur $I$ ".

Méthode :

Justifier $f$ continue sur $I$
Justifier $f$ strictement monotone (signe de $f^{'}$ )
Montrer que $f (a) \cdot f (b) < 0$
Conclure par TVI strict

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = x^{3} + x - 1$ .
1) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $R$ .
2) Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in] 0, 1 [$ .

Solution :

1) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ pour tout $x$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $R$ .

2) $f$ continue (polynôme) et strictement croissante sur $[0, 1]$ .
$f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ . Donc $f (0) \cdot f (1) < 0$ .
Par TVI strict, il existe un unique $α \in] 0, 1 [$ tel que $f (α) = 0$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Écrire $\frac{0}{0} = 0$ : c'est une FI, à lever.
Appliquer le TVI sans justifier la continuité.
Oublier la stricte monotonie dans le TVI strict.
Conclure "il existe" au lieu de "il existe UN seul" alors qu'on demande l'unicité.
Confondre limite à gauche et à droite aux bornes du domaine.

📈 Figure clé

Asymptotes :

x = 1

y = 2

🔑 Formules clés à retenir

Limites usuelles :

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

4 FI : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty$

Continuité : $x \to a lim f (x) = f (a)$

TVI strict :

$f$ continue + strictement monotone + $f (a) f (b) < 0$

$\Rightarrow$ unique solution $α \in] a, b [$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 TVI strict = 3 conditions OBLIGATOIRES : continue, strictement monotone, changement de signe.
🎯 Si tu vois "unique solution", pense automatiquement TVI strict.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Limites et continuité

Type 1 : Limite directe (par substitution)

Quand ? La fonction est usuelle (polynôme, rationnelle, racine, $ln$ ) et remplacer $x$ par la valeur ne donne aucune forme indéterminée.

Vérifier que la fonction est définie autour de la valeur visée.
Remplacer directement $x$ par $a$ (ou raisonner sur les limites usuelles en $\pm \infty$ ).
Conclure ; si on obtient un nombre réel, c'est la limite.

Exemple éclair : $x \to 2 lim (x^{2} - 3 x + 1) = 4 - 6 + 1 = - 1$ .

Type 2 : Lever la FI $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\infty - \infty$ (polynômes / rationnelles)

Quand ? Limite en $+ \infty$ ou $- \infty$ d'un polynôme ou d'un quotient de polynômes.

Pour un polynôme : la limite est celle de son terme de plus haut degré.
Pour un quotient : factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.
Calculer la limite de l'expression simplifiée (les termes en $\frac{1}{x ^{n}}$ tendent vers $0$ ).

Exemple éclair : $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{2} + x} = x \to + \infty lim \frac{2 - \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$ .

Type 3 : Lever la FI $\frac{0}{0}$ (factorisation)

Quand ? Limite en $a$ d'un quotient où numérateur et dénominateur s'annulent tous deux en $a$ .

Factoriser numérateur et dénominateur par $(x - a)$ (racine évidente, identité remarquable).
Simplifier le facteur commun $(x - a)$ .
Remplacer $x$ par $a$ dans l'expression simplifiée.

Exemple éclair : $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = 2$ .

Type 4 : Limite avec une racine (expression conjuguée)

Quand ? FI $\frac{0}{0}$ ou $\infty - \infty$ faisant intervenir une racine carrée $\cdot$ .

Multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée.
Utiliser $(A - B) (A + B) = A - B$ pour faire disparaître la racine gênante.
Simplifier puis calculer la limite.

Exemple éclair : $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{1}{2}$ .

Type 5 : Limite par signe du dénominateur (limite infinie)

Quand ? En $a$ , le numérateur tend vers un nombre non nul et le dénominateur tend vers $0$ .

Calculer la limite du numérateur (non nulle) et celle du dénominateur ( $= 0$ ).
Étudier le signe du dénominateur à gauche et à droite de $a$ (tableau de signes).
En déduire $+ \infty$ ou $- \infty$ selon la règle des signes ; distinguer limite à gauche et à droite si elles diffèrent.

Exemple éclair : $x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty$ et $x \to 1^{-} lim \frac{1}{x - 1} = - \infty$ .

Type 6 : Étudier la continuité en un point

Quand ? Fonction définie par morceaux, ou prolongée en un point $a$ ; on demande si elle est continue en $a$ .

Vérifier que $f (a)$ existe (la fonction est définie en $a$ ).
Calculer $x \to a^{-} lim f (x)$ et $x \to a^{+} lim f (x)$ .
$f$ est continue en $a$ si et seulement si $x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$ .

Exemple éclair : Si $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ et $f (1) = 2$ , alors $x \to 1 lim f (x) = 2 = f (1)$ : $f$ est continue en $1$ .

Type 7 : Déterminer les asymptotes d'une courbe

Quand ? On étudie une fonction et on demande les asymptotes verticales, horizontales ou obliques.

Verticale $x = a$ : si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ (typiquement aux valeurs interdites).
Horizontale $y = ℓ$ en $\pm \infty$ : si $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (réel).
Oblique $y = a x + b$ : calculer $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ puis $b = x \to \pm \infty lim (f (x) - a x)$ .

Exemple éclair : Pour $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ , la droite $y = x$ est asymptote oblique en $\pm \infty$ et $x = 0$ est asymptote verticale.

Type 8 : Existence d'une solution (TVI)

Quand ? On demande de montrer que l'équation $f (x) = k$ admet (au moins) une solution sur un intervalle $[a; b]$ .

Vérifier que $f$ est continue sur $[a; b]$ .
Calculer $f (a)$ et $f (b)$ et vérifier que $k$ est compris entre les deux (souvent $f (a) \times f (b) < 0$ pour $k = 0$ ).
Par le théorème des valeurs intermédiaires, conclure qu'il existe $c \in [a; b]$ tel que $f (c) = k$ ; si $f$ est strictement monotone, la solution est unique.

Exemple éclair : $f (x) = x^{3} + x - 1$ est continue, $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ donc $f (x) = 0$ a une solution dans $[0; 1]$ .

Limites et continuité — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

8 exercices

Limite usuelle sin x / x

Facile

Énoncé

Calculer

x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{x}

Ma réponse

Limites et continuité

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I. Rappels sur les limites

Limites usuelles à connaître par cœur

II. Les 4 formes indéterminées

III. Continuité

Définition

Fonctions usuellement continues

IV. Prolongement par continuité

V. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé

Corollaire (TVI strict / bijection)

Application classique au BAC SE

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Limites et continuité

Type 1 : Limite directe (par substitution)

Type 2 : Lever la FI ∞∞​ ou ∞−∞ (polynômes / rationnelles)

Type 3 : Lever la FI 00​ (factorisation)

Type 4 : Limite avec une racine (expression conjuguée)

Type 5 : Limite par signe du dénominateur (limite infinie)

Type 6 : Étudier la continuité en un point

Type 7 : Déterminer les asymptotes d'une courbe

Type 8 : Existence d'une solution (TVI)

Limites et continuité — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Limite usuelle sin x / x

Continuité par morceaux

Limite par règle des polynômes

Continuité d'une fonction par morceaux

Limite en un point fini

FI infini sur infini

Forme indéterminée $\infty/\infty$

Limite avec polynôme et racine

Exercices Intermédiaires

Prolongement par continuité

TVI avec dichotomie

Limite par changement de variable

TVI pour racine d'équation

Limite avec changement de variable

Limite avec valeur absolue

Continuité et paramètre

Continuité en un point

Théorème des valeurs intermédiaires

Asymptote verticale

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Limites et continuité

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Type 2 : Lever la FI $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\infty - \infty$ (polynômes / rationnelles)

Type 3 : Lever la FI $\frac{0}{0}$ (factorisation)