إثبات الوجود والوحدانية (∃! x): منهجية صارمة في 3 خطوات

⭐ الصيغة التي تتكرر باستمرار

« برهن أنه يوجد عدد حقيقي وحيد x ∈ [a, b] بحيث f(x) = 0. » لقد صادفت هذا السؤال 50 مرة من قبل. ومع ذلك فإن أغلب التلاميذ يحررونه بشكل خاطئ ويفقدون من 2 إلى 3 نقاط.

إليك المنهجية الصارمة المعيارية، في 3 خطوات إلزامية.

📐 البنية في 3 خطوات

🔍 الخطوة 1 — برهان الوجود (الطريقة المعيارية)

1. تبرير الاتصال للدالة f على المجال [a, b].
2. حساب f(a) و f(b) والتحقق من أنهما ذوا إشارتين متعاكستين (غالبا f(a)·f(b) < 0).
3. استدعاء مبرهنة القيم المتوسطة : "حسب مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد c ∈ ]a, b[ بحيث f(c) = 0."

🔒 الخطوة 2 — برهان الوحدانية (الطريقة المعيارية)

1. برهن أن f متزايدة (أو متناقصة) قطعيا على [a, b]. الأسرع : دراسة إشارة f'(x).
2. الاستنتاج : "بما أن f متزايدة (أو متناقصة) قطعيا على [a, b]، فإنها تأخذ كل قيمة على الأكثر مرة واحدة. إذن c وحيد."

بديل : افترض وجود حلين c₁ و c₂، واستنتج أن c₁ = c₂ (غالبا بالخلف).

✨ مثال كامل (نموذج الباكالوريا)

المعطى : برهن أن المعادلة x³ + x − 1 = 0 تقبل حلا وحيدا في ]0, 1[.

لتكن f معرفة على ℝ بـ f(x) = x³ + x − 1.

الوجود :
- f كثير حدود، إذن f متصلة على ℝ، وخاصة على [0, 1].
- f(0) = −1 < 0.
- f(1) = 1 > 0.
- حسب مبرهنة القيم المتوسطة،
  يوجد c ∈ ]0, 1[ بحيث f(c) = 0.

الوحدانية :
- f قابلة للاشتقاق على ℝ و f'(x) = 3x² + 1.
- من أجل كل x ∈ ℝ، f'(x) ≥ 1 > 0.
- إذن f متزايدة قطعيا على ℝ، وخاصة على [0, 1].
- إذن f تأخذ كل قيمة على الأكثر مرة واحدة على [0, 1].

الاستنتاج :
المعادلة x³ + x − 1 = 0 تقبل حلا وحيدا في ]0, 1[. ∎

⚠️ الأخطاء الثلاثة التي يجب تجنبها

1. نسيان الاتصال. قبل استعمال مبرهنة القيم المتوسطة، يجب دائما تبرير أن f متصلة على [a, b]. "كثير حدود" يكفي، لكن يجب كتابته.
2. الخلط بين "متزايدة قطعيا" و"متزايدة". إذا كانت f متزايدة فقط (بالمعنى الواسع)، فقد تأخذ نفس القيمة مرتين. دائما حدد "قطعيا".
3. تجاوز خطوة "الوحدانية". كثير من التلاميذ يحررون الوجود ويستنتجون مباشرة. بدون برهان الوحدانية، تفقد نصف النقاط.

🎯 صيغ شائعة

• على ℝ كاملا : استعمل النهايات عند ±∞ بدلا من f(a) و f(b)
• على مجال مفتوح : نفس الطريقة، لكن صغ الاتصال بشكل أدق قليلا
• بالنسبة لمتتالية (نقطة قارة) : f(x) = x بدلا من f(x) = 0، نفس المنهجية

مقالات ذات صلة : كيف تستشهد بمبرهنة، دراسة دالة كاملة، البرهان بالخلف وبالمضاد للنقيض.