Raisonnement par l'absurde et contraposée : les 2 méthodes que tu sous-utilises

🔄 Deux méthodes négligées (à tort)

Au lycée, la récurrence est tellement mise en avant que beaucoup d'élèves oublient les 2 autres méthodes de preuve indirecte : le raisonnement par l'absurde et le raisonnement par contraposée. Ces méthodes débloquent des questions impossibles autrement.

💥 Le raisonnement par l'absurde

Principe : pour démontrer une proposition P, on suppose non P (le contraire) et on dérive une contradiction. Donc non P est impossible, donc P est vraie.

📐 La structure obligatoire (à recopier mot pour mot)

🎯 Quand l'utiliser ?

• Énoncés de type "il n'existe pas…" ("il n'existe pas de rationnel x tel que x² = 2")
• Énoncés de unicité ("il existe un unique…")
• Énoncés où la conclusion est négative ("f n'est pas dérivable en 0")
• Quand l'approche directe ne mène nulle part

✨ Exemple culte : √2 est irrationnel

Supposons par l'absurde que √2 = p/q avec p et q entiers
premiers entre eux (fraction irréductible).

Alors 2 = p²/q², donc p² = 2q².
Donc p² est pair, donc p est pair (car carré d'un impair est impair).
Écrivons p = 2k. Alors 4k² = 2q², donc q² = 2k².
Donc q² est pair, donc q est pair.

Mais p et q sont alors tous deux pairs, donc divisibles par 2.
Contradiction avec "p et q premiers entre eux". ∎

🪞 Le raisonnement par contraposée

Principe : pour démontrer "A ⇒ B", on démontre "non B ⇒ non A" (équivalent logique).

C'est utile quand A est compliqué mais non B est facile.

📐 Structure

🎯 Quand l'utiliser ?

• L'hypothèse A est complexe (longue, technique)
• La conclusion B est facile à nier
• Quand l'implication directe semble "tourner en rond"

✨ Exemple classique : si n² est pair, alors n est pair

Démontrons la contraposée :
si n n'est pas pair (donc n est impair), alors n² n'est pas pair.

Soit n impair. Alors n = 2k + 1 pour un certain k ∈ ℤ.
n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1.
Donc n² est impair.

Par contraposée, on a démontré : si n² est pair, alors n est pair. ∎

⚠️ Les 3 pièges classiques

1. Ne pas écrire explicitement "Supposons par l'absurde" ou "Démontrons la contraposée". Sans ça, le correcteur ne suit pas ton raisonnement. −2 points garantis.
2. Confondre la contraposée et la réciproque. La contraposée de "A ⇒ B" est "non B ⇒ non A" (équivalente). La réciproque est "B ⇒ A" (généralement fausse).
3. Ne pas conclure. Après la contradiction (ou la démonstration de non B ⇒ non A), il faut une phrase explicite qui reformule le résultat.

🎓 Comment choisir : absurde ou contraposée ?

Articles connexes : le raisonnement par récurrence, modèles de démonstration par récurrence.