⭐ La formulation qui revient sans cesse

« Démontrer qu'il existe un unique x ∈ [a, b] tel que f(x) = 0. » Tu as déjà rencontré cette question 50 fois. Pourtant la majorité des élèves la rédigent mal et perdent 2 à 3 points.

Voici la méthode rigoureuse standard, en 3 étapes obligatoires.

📐 La structure en 3 étapes

Étape 1. L'EXISTENCE

Démontrer qu'au moins une solution existe — généralement par le théorème des valeurs intermédiaires (TVI).

Étape 2. L'UNICITÉ

Démontrer que cette solution est unique — généralement par stricte monotonie (souvent via le signe de f').

Étape 3. LA CONCLUSION

"Donc il existe un unique réel c ∈ [a, b] tel que f(c) = 0."

🔍 Étape 1 — démontrer l'existence (méthode standard)

  1. Justifier la continuité de f sur l'intervalle [a, b].
  2. Calculer f(a) et f(b) et vérifier qu'ils sont de signes opposés (souvent f(a)·f(b) < 0).
  3. Invoquer le TVI : "D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(c) = 0."

🔒 Étape 2 — démontrer l'unicité (méthode standard)

  1. Démontrer que f est strictement monotone sur [a, b]. Le plus rapide : étudier le signe de f'(x).
  2. Conclure : "f étant strictement monotone sur [a, b], elle prend chaque valeur au plus une fois. Donc c est unique."

Alternative : supposer deux solutions c₁ et c₂, en déduire c₁ = c₂ (souvent par l'absurde).

✨ Exemple complet (type bac)

Énoncé : démontrer que l'équation x³ + x − 1 = 0 admet une unique solution dans ]0, 1[.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ + x − 1.

EXISTENCE :
- f est un polynôme, donc f est continue sur ℝ, en particulier sur [0, 1].
- f(0) = −1 < 0.
- f(1) = 1 > 0.
- D'après le théorème des valeurs intermédiaires,
  il existe c ∈ ]0, 1[ tel que f(c) = 0.

UNICITÉ :
- f est dérivable sur ℝ et f'(x) = 3x² + 1.
- Pour tout x ∈ ℝ, f'(x) ≥ 1 > 0.
- Donc f est strictement croissante sur ℝ, en particulier sur [0, 1].
- Donc f prend chaque valeur au plus une fois sur [0, 1].

CONCLUSION :
L'équation x³ + x − 1 = 0 admet une UNIQUE solution dans ]0, 1[. ∎

⚠️ Les 3 pièges à éviter

  1. Oublier la continuité. Avant le TVI, il faut TOUJOURS justifier que f est continue sur [a, b]. "Polynôme" suffit, mais il faut l'écrire.
  2. Confondre "strictement monotone" et "monotone". Si f n'est que monotone (au sens large), elle peut prendre la même valeur deux fois. Toujours préciser "STRICTEMENT".
  3. Sauter l'étape "unicité". Beaucoup d'élèves rédigent l'existence et concluent directement. Sans démontrer l'unicité, tu perds la moitié des points.

🎯 Variantes courantes

  • Sur ℝ entier : utiliser les limites en ±∞ au lieu de f(a) et f(b)
  • Sur un intervalle ouvert : même méthode, mais formaliser un peu plus la continuité
  • Pour une suite (un point fixe) : f(x) = x au lieu de f(x) = 0, méthode identique

Articles connexes : comment citer un théorème, étude de fonction complète, absurde et contraposée.