المتتاليات في باكالوريا العلوم الرياضية: الأنماط السبعة الأساسية التي يجب إتقانها

لماذا تظهر المتتاليات (تقريباً) دائماً في باكالوريا العلوم الرياضية

المتتاليات العددية موجودة في 100 % من مواضيع باكالوريا العلوم الرياضية بالمغرب منذ 10 سنوات. تمثل من 4 إلى 6 نقاط، وغالباً ما تُدمج في تمرين "دراسة دالة + متتالية تراجعية". الخبر السار: المواضيع تعود دائماً إلى 7 نماذج أساسية يمكنك تعلم التعرف عليها في 10 ثوانٍ.

النموذج 1 : متتالية حسابية أو هندسية مقنّعة

إشارة التعرف: يُعطى لك $u_{n+1}$ بدلالة $u_n$ بعلاقة خطية بسيطة، أو $u_{n+1}/u_n$ ثابت.

الطريقة:

1. احسب $u_1-u_0$ و $u_2-u_1$ : إذا كانا متساويين ← متتالية حسابية أساسها $r$.
2. احسب $u_1/u_0$ و $u_2/u_1$ : إذا كانا متساويين ← متتالية هندسية أساسها $q$.
3. وإلا، ابحث عن متتالية مساعدة $v_n=u_n-\ell$ أو $v_n=u_n+an+b$ تصبح هندسية.

مثال نموذجي: $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$، $u_0=1$. ضع $v_n=u_n-6$ (حيث $6=3/(1-1/2)$ هي النقطة الثابتة). إذن $v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n$ : متتالية هندسية أساسها $1/2$.

النموذج 2 : ترجع بسيط تتم دراسته بالترجع

الإشارة: "أثبت أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$، $u_n\in [a,b]$" أو "$u_n>0$" أو "$u_n\le u_{n+1}$".

الطريقة (البرهان بالترجع):

1. التهيئة: تحقق من أجل $n=0$ (أو $n=1$).
2. الانتقال: افترض الخاصية صحيحة عند الرتبة $n$، أثبتها عند الرتبة $n+1$.
3. الخلاصة: "حسب مبدأ الترجع، $P(n)$ صحيحة من أجل كل $n\in \mathbb{N}$."

👉 انظر النماذج الأربعة للترجع للتحرير المثالي.

النموذج 3 : متتالية معرفة بـ $u_{n+1}=f(u_n)$ مع $f$ متزايدة

الإشارة: يُعطى لك دالة $f$، شرط ابتدائي، و $u_{n+1}=f(u_n)$.

الطريقة:

1. ادرس إشارة $f(x)-x$ : أصفارها هي النقط الثابتة لـ $f$.
2. أثبت بالترجع أن $(u_n)$ تبقى في مجال $I$ مستقر بواسطة $f$.
3. قارن $u_1$ و $u_0$ : إذا كان $u_1>u_0$ و $f$ متزايدة، فإن $(u_n)$ متزايدة. إذا كان $u_1<u_0$، فهي متناقصة.
4. استنتج: متتالية رتيبة ومحدودة ⇐ متقاربة نحو $\ell$ حيث $f(\ell )=\ell$.

النموذج 4 : متتالية معرفة بـ $u_{n+1}=f(u_n)$ مع $f$ متناقصة

فخ كلاسيكي جداً في باكالوريا العلوم الرياضية! إذا كانت $f$ متناقصة، فالمتتالية $(u_n)$ ليست رتيبة. لكن المتتاليتين الجزئيتين $(u_{2n})$ و $(u_{2n+1})$ رتيبتان بمعنيين متعاكسين.

الطريقة:

1. ضع $g=f\circ f$ (التي هي متزايدة).
2. ادرس $(u_{2n})$ عبر $u_{2n+2}=g(u_{2n})$ : طبق النموذج 3.
3. نفس الشيء لـ $(u_{2n+1})$.
4. إذا تقاربتا نحو نفس النهاية ⇐ $(u_n)$ متقاربة.

النموذج 5 : متتاليات متجاورة

الإشارة: يُعطى لك متتاليتان $(u_n)$ و $(v_n)$ مع غالباً $u_n\le v_n$.

الطريقة (3 شروط للتحقق):

1. $(u_n)$ متزايدة.
2. $(v_n)$ متناقصة.
3. $\lim (v_n-u_n)=0$.

الخلاصة: $(u_n)$ و $(v_n)$ تتقاربان نحو نفس النهاية $\ell$، ومن أجل كل $n$، $u_n\le \ell \le v_n$.

👉 انظر دليل طريقة المتتاليات المتجاورة.

النموذج 6 : متراجحة من نوع $|u_{n+1}-\ell |\le k|u_n-\ell |$ مع $0<k<1$

الإشارة: تعرف مسبقاً النهاية المرشحة $\ell$، والسؤال يطلب منك "إثبات أن المتتالية تتقارب نحو $\ell$".

الطريقة (متراجحة هندسية):

1. أثبت بالترجع أن $|u_n-\ell |\le k^n|u_0-\ell |$.
2. بما أن $0<k<1$، $\lim k^n=0$، إذن $\lim |u_n-\ell |=0$، إذن $\lim u_n=\ell$.

حيلة باكالوريا العلوم الرياضية: مبرهنة الزيادات المنتهية المطبقة على $f$ تسمح غالباً بإثبات $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ مع $k=\sup |f^{\prime }|$. انظر مقالنا حول مبرهنة الزيادات المنتهية.

النموذج 7 : مجموع أو جداء معرف بالترجع

الإشارة: $S_n=\sum _{k=0}^n{u}_k$ أو $P_n=\prod _{k=1}^n{u}_k$، والسؤال يطلب النهاية.

الطريقة:

1. إذا كانت $(u_n)$ هندسية أساسها $q$ مع $|q|<1$ : $S_n\to \frac{u_0}{1-q}$.
2. إذا أعطى السؤال صيغة مباشرة لـ $S_n$ : أثبتها بالترجع ثم احسب النهاية.
3. بالنسبة للجداءات، انتقل إلى اللوغاريتم: $\ln P_n=\sum \ln u_k$.

تمرين نموذجي باكالوريا العلوم الرياضية 2024 مصحح

السؤال: لتكن $u_0=0$ و $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. ادرس $(u_n)$.

الخطوة 1 — التعرف على النموذج: $f(x)=\sqrt{x+2}$، متزايدة على $[-2,+\infty [$. هذا هو النموذج 3.

الخطوة 2 — الاستقرار: نثبت بالترجع أن $0\le u_n\le 2$.

• التهيئة: $u_0=0\in [0,2]$. ✓
• الانتقال: إذا كان $0\le u_n\le 2$، فإن $2\le u_n+2\le 4$، إذن $\sqrt{2}\le u_{n+1}\le 2$. إذن $u_{n+1}\in [0,2]$. ✓

الخطوة 3 — الرتابة: $u_1=\sqrt{2}>0=u_0$، و $f$ متزايدة ⇐ $(u_n)$ متزايدة.

الخطوة 4 — الخلاصة: $(u_n)$ متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ $2$ ⇐ متقاربة نحو $\ell$. بما أن $f$ متصلة: $\ell =\sqrt{\ell +2}$، أي ${\ell }^2-\ell -2=0$، $\ell \in \{-1,2\}$. بما أن $\ell \ge 0$ : $\boxed{\ell =2}$.

أهم 10 أخطاء يجب تجنبها في المتتاليات

1. الخلط بين "$(u_n)$ متقاربة" و "$(u_n)$ محدودة".
2. نسيان التحقق من أن $u_n$ تبقى في مجموعة تعريف $f$ قبل تطبيق $u_{n+1}=f(u_n)$.
3. الاعتقاد أن متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل بـ 0 تتقارب نحو 0 (خطأ: تتقارب نحو حدها الأدنى).
4. الاستنتاج "$\ell =f(\ell )$" دون تبرير اتصال $f$ في $\ell$.
5. الخلط بين $u_{n+1}$ و $f(u_n)$ عندما تكون لـ $f$ عدة فروع.
6. نسيان شرط "$(u_n)$ و $(v_n)$ لهما نفس النهاية" في مبرهنة المتتاليات المتجاورة.
7. تطبيق "$(u_n)$ رتيبة" دون مقارنة $u_0$ و $u_1$ (حالة $f$ متزايدة).
8. الاعتقاد أن $(u_n)$ رتيبة عندما تكون $f$ متناقصة.
9. نسيان القيمة الابتدائية في تهيئة الترجع.
10. عدم التحقق من وحدانية النهاية المرشحة عندما يكون لـ $f(\ell )=\ell$ عدة حلول.

خطة الدراسة الموصى بها

لإتقان هذا الفصل في أسبوعين:

• اليوم 1-2: تعلم النماذج السبعة عن ظهر قلب. أنجز تمرين واحد لكل نموذج.
• اليوم 3-7: 2-3 تمارين من الامتحانات السابقة/يومياً مركزة على النماذج 3، 4، 5 (الأكثر ظهوراً).
• اليوم 8-14: موضوع كامل من الامتحانات السابقة يومياً، في ظروف الباكالوريا.

انظر أيضاً: المتتاليات المتجاورة، الترجع، طريقة البراهين الصارمة.