لتكن $A$ و $B$ و $C$ ثلاث نقط غير مستقيمية. نرمز بـ $I$ لمنتصف القطعة $[AB]$ و $G=bar\{(A,1);(B,1);(C,2)\}$.

1) علّل أن $I=bar\{(A,1);(B,1)\}$.

2) باستعمال خاصية تجميعية المرجح، بيّن أن $G$ هي منتصف القطعة $[IC]$.

في معلم، نعطي $A(2;1)$، $B(-3;4)$ و $C(5;-2)$.

حدد إحداثيي مرجح $G$ للنظمة $\{(A,1),(B,2),(C,3)\}$.

لتكن $A$ و $B$ نقطتين مختلفتين و $D$ النقطة المعرفة بـ $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

حدّد العدد الحقيقي $k$ حيث $D=bar\{(A,k);(B,1)\}$.

المستوى منسوب إلى معلم $(O,\vec{i},\vec{j})$. نعطي $A(0;0)$ و $B(4;0)$ و $C(6;3)$ و $D(2;3)$.

1) احسب إحداثيات النقطة $I=bar\{(A,1);(C,1)\}$ (منتصف $[AC]$) والنقطة $J=bar\{(B,1);(D,1)\}$ (منتصف $[BD]$).

2) ماذا تستنتج بخصوص الرباعي $ABCD$؟ علّل جوابك.

لتكن $G$ مرجح الجملة $\{(A,1),(B,3),(C,4)\}$.

1) لتكن $H$ المرجح الجزئي للجملة $\{(B,3),(C,4)\}$. بيّن أن $G$ هي مرجح الجملة $\{(A,1),(H,7)\}$.

2) استنتج أن $G$ تنتمي إلى المستقيم $(AH)$.

ليكن المثلث $ABC$ حيث $A(0;0)$ و $B(6;0)$ و $C(3;9)$.

1) حدد مرجح متساوي المعاملات $G$ للنقط $A$ و $B$ و $C$.

2) تحقق من أن $G$ ينتمي إلى المتوسط الصادر من $A$ (المتوسط $[A{A}^{\prime }]$ حيث $A^{\prime }$ منتصف $[BC]$).

لتكن $A$ و $B$ نقطتين حيث $AB=4cm$. نرمز $G=bar\{(A,2);(B,3)\}$.

1) حدّد موقع $G$ على $[AB]$ بحساب $AG$.

2) حدّد وصف مجموعة النقط $(E)$ من المستوى حيث $\Vert 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\Vert =10cm$.

ليكن $ABC$ مثلثا و $I$ منتصف $[BC]$. نعتبر $G_1=bar\{(A,2);(B,1);(C,1)\}$.

1) بيّن أن $G_1=bar\{(A,2);(I,2)\}$.

2) استنتج أن $G_1$ هي منتصف $[AI]$.

المستوى منسوب إلى معلم $(O,\vec{i},\vec{j})$. نعطي $A(1;0)$ و $B(3;0)$ و $C(2;4)$. نعتبر النقطة $G$ حيث، لكل نقطة $M$ من المستوى، $\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MG}$.

1) علّل أن $G=bar\{(A,1);(B,-2);(C,3)\}$.

2) احسب إحداثيات $G$.

لتكن $A$ و $B$ نقطتين. لكل نقطة $M$ من المستوى، نضع $\vec{u}(M)=3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}$.

اختزل $\vec{u}(M)$ على الشكل $k\overrightarrow{MG}$ حيث $G$ مرجح يتم تحديده.

ليكن $ABC$ مثلثًا. نُعرّف النقطتين $I$ و$J$ بما يلي:

$I$ مرجح النظمة $\{(A,1);(B,2)\}$ و$J$ مرجح النظمة $\{(A,1);(C,2)\}$.

بيّن أن المستقيم $(IJ)$ يوازي المستقيم $(BC)$.

لتكن $A$ و $B$ نقطتين حيث $AB=6$. حدّد وأنشئ المجموعة $(E)$ لنقط $M$ من المستوى التي تحقّق:

$\Vert 3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\Vert =8$.

في معلم، نعطي $A(0;0)$ و $B(4;0)$ و $C(2;6)$.

ليكن $G$ مرجح $\{(A,1);(B,1);(C,2)\}$.

1) حدّد إحداثيات $G$.

2) لتكن $I$ منتصف $[AB]$. بيّن أن $G$ مرجح $\{(I,2);(C,2)\}$، ثم أوجد موضعه.

لتكن $A$ و $B$ نقطتين مختلفتين و $m$ عدداً حقيقياً. نعتبر مرجح $G$ للنظمة $\{(A,2);(B,m)\}$ (حيث $2+m\ne 0$).

حدد قيمة $m$ التي من أجلها يكون $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.