كم تمرينًا مصحّحًا في درس «عموميات حول الدوال العددية» ؟

يتوفّر 50 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «عموميات حول الدوال العددية» في 1ère Bac Sciences Éco ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «عموميات حول الدوال العددية» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ1ère Bac Sciences Éco بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Généralités sur les fonctions numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: تصف الدوال التكلفة أو الإيراد أو الطلب بدلالة كمية — أساس التحليل الاقتصادي.

I. المفردات الأساسية

تعريف — دالة عددية

الدالة العددية $f$ لمتغير حقيقي هي علاقة تربط بكل عدد حقيقي $x$ من مجموعة جزئية $D \subset R$ ، عددا حقيقيا واحدا على الأكثر $f (x)$ . نكتب:

$f : D \to R, x \mapsto f (x)$

$D$ تسمى مجموعة التعريف للدالة $f$ ، ويرمز لها بـ $D_{f}$
$f (x)$ هي صورة $x$ بالدالة $f$
إذا كان $y = f (x)$ ، فإن $x$ هو سابقة لـ $y$ بالدالة $f$

مجموعة التعريف — القواعد الثلاث الواجب معرفتها

لإيجاد $D_{f}$ ، نبحث عن قيم $x$ التي من أجلها يكون $f (x)$ موجودا:

القسمة: $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ تتطلب $v (x) \neq = 0$
الجذر التربيعي: $u (x)$ يتطلب $u (x) \geq 0$
اللوغاريتم (سيُدرس لاحقا): $ln (u (x))$ يتطلب $u (x) > 0$

مثال محلول: تحديد $D_{f}$ للدالة $f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ .
- الجذر: $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$
- المقام غير منعدم: $x - 3 \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 3$
إذن $D_{f} = [1, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

II. التمثيل البياني

المنحنى (أو المنحنى التمثيلي) للدالة $f$ هو المجموعة:

$C_{f} = {M (x, f (x)); x \in D_{f}}$

في معلم متعامد ومتجانس $(O; i, j)$ .

III. تكافؤ دالة

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على $D_{f}$ متماثلة بالنسبة لـ $0$ (أي: $x \in D_{f} \Rightarrow - x \in D_{f}$ ).

$f$ زوجية إذا كان: $\forall x \in D_{f}, f (- x) = f (x)$
$f$ فردية إذا كان: $\forall x \in D_{f}, f (- x) = - f (x)$

النتائج البيانية

إذا كانت $f$ زوجية ← $C_{f}$ متماثل بالنسبة لمحور $(O y)$
إذا كانت $f$ فردية ← $C_{f}$ متماثل بالنسبة لنقطة الأصل $O$

مثال:
$f (x) = x^{2}$ زوجية لأن $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ .
$g (x) = x^{3}$ فردية لأن $g (- x) = (- x)^{3} = - x^{3} = - g (x)$ .
$h (x) = x^{2} + x$ ليست زوجية ولا فردية لأن $h (- x) = x^{2} - x \neq = h (x)$ و $\neq = - h (x)$ .

طريقة الباكالوريا لدراسة التكافؤ

التحقق من أن $D_{f}$ متماثلة بالنسبة لـ $0$ . وإلا، فإن $f$ ليست زوجية ولا فردية.
حساب $f (- x)$ .
المقارنة مع $f (x)$ و $- f (x)$ .

IV. الدورية

تعريف

$f$ دورية بدورة $T > 0$ إذا كان:

$x \in D_{f} \Rightarrow x + T \in D_{f}$ و $x - T \in D_{f}$
$\forall x \in D_{f}, f (x + T) = f (x)$

أصغر دورة موجبة تماما (إن وُجدت) تسمى الدورة الأساسية.

أمثلة أساسية

$sin$ و $cos$ دوريتان بدورة $2 π$
$tan$ دورية بدورة $π$
$x \mapsto sin (2 x)$ دورية بدورة $π$ (الدورة مقسومة على 2)

V. اتجاه التغير

تعريف

لتكن $f$ معرفة على مجال $I$ . نقول إن:

$f$ متزايدة على $I$ إذا كان: $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} \leq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$
$f$ متزايدة تماما على $I$ إذا كان: $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
$f$ متناقصة على $I$ إذا كان: $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} \leq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})$
$f$ ثابتة على $I$ إذا كان: $\forall x_{1}, x_{2} \in I, f (x_{1}) = f (x_{2})$

الدالة الرتيبة هي دالة متزايدة أو متناقصة (اتجاه واحد).

طريقة دراسة اتجاه التغير (بدون مشتقة)

نستخدم معدل التزايد:

$T (x_{1}, x_{2}) = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

إذا كان $T (x_{1}, x_{2}) > 0$ لكل $x_{1} \neq = x_{2}$ في $I$ ← $f$ متزايدة تماما
إذا كان $T (x_{1}, x_{2}) < 0$ لكل $x_{1} \neq = x_{2}$ في $I$ ← $f$ متناقصة تماما

مثال: دراسة تغيرات $f (x) = x^{2}$ على $[0, + \infty [$ .
ليكن $0 \leq x_{1} < x_{2}$ . إذن $T = \frac{x _{2}^{2} - x _{1}^{2}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{( x _{2} - x _{1} ) ( x _{2} + x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = x_{1} + x_{2} > 0$ .
إذن $f$ متزايدة تماما على $[0, + \infty [$ .

VI. القيم الحدية لدالة

تعريف

لتكن $f$ معرفة على $D$ و $x_{0} \in D$ .

$f$ تقبل قيمة عظمى في $x_{0}$ إذا كان: $\forall x \in D, f (x) \leq f (x_{0})$ . القيمة $f (x_{0})$ هي القيمة العظمى لـ $f$ .
$f$ تقبل قيمة صغرى في $x_{0}$ إذا كان: $\forall x \in D, f (x) \geq f (x_{0})$
القيمة الحدية هي إما قيمة عظمى أو قيمة صغرى.

الحصر والقيم الحدية

إذا كان $\forall x \in D, m \leq f (x) \leq M$ ، فإن:

$f$ محدودة من الأسفل بـ $m$ (لكن $m$ ليس بالضرورة محققا)
$f$ محدودة من الأعلى بـ $M$
$f$ محدودة

VII. مقارنة الدوال والوضع النسبي

لمقارنة منحنيين $C_{f}$ و $C_{g}$ على مجال $I$ ، ندرس إشارة $f (x) - g (x)$ :

$f (x) - g (x) > 0$ على $I$ : $C_{f}$ فوق $C_{g}$ على $I$
$f (x) - g (x) < 0$ على $I$ : $C_{f}$ تحت $C_{g}$ على $I$
$f (x) - g (x) = 0$ : المنحنيان يتقاطعان عند النقطة ذات الفاصلة $x$

VIII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

تمرين كلاسيكي: لتكن $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .
1) تحديد $D_{f}$ .
2) دراسة تكافؤ $f$ .
3) مقارنة $f$ مع الدالة $g : x \mapsto 2$ .

الحل:

1) $f (x)$ موجودة إذا كان $x - 1 \neq = 0$ ، أي $x \neq = 1$ . إذن $D_{f} = R ∖ {1}$ .

2) $D_{f}$ غير متماثلة بالنسبة لـ $0$ (لأن $1 \in / D_{f}$ لكن $- 1 \in D_{f}$ ). إذن $f$ ليست زوجية ولا فردية.

3) $f (x) - g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1} - 2 = \frac{2 x + 1 - 2 ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$ .
إذن:

إذا كان $x > 1$ : $\frac{3}{x - 1} > 0$ إذن $C_{f}$ فوق المستقيم $y = 2$
إذا كان $x < 1$ : $\frac{3}{x - 1} < 0$ إذن $C_{f}$ تحت المستقيم $y = 2$

IX. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

نسيان تماثل $D_{f}$ قبل دراسة التكافؤ. إذا لم تكن $D_{f}$ متماثلة، فالدالة ليست زوجية ولا فردية، انتهى الأمر.
الخلط بين "متزايدة بالمعنى الواسع" و "متزايدة تماما". الفرق: $\leq$ مقابل $<$ . لإثبات الرتابة التامة، يجب $<$ صارمة.
الخلط بين "محدودة بـ M" و "القيمة العظمى تساوي M". يمكن أن تكون $f$ محدودة بـ $M$ دون أن تحققها أبدا (مثال: $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ على $R^{+}$ ، محدودة بـ 1 لكن لا تساوي 1 أبدا).
نسيان المجال في جدول التغيرات. ابدأ دائما بـ $D_{f}$ .
الخلط بين $f (- x)$ و $- f (x)$ . $f (- x)$ = نعوض $x$ بـ $- x$ في الصيغة. $- f (x)$ = نأخذ معاكس النتيجة.

X. ما يجب تذكره

$D_{f}$ : 3 قواعد (قسمة، جذر، لوغاريتم). ابدأ دائما بهذا.
التكافؤ: شرطان (مجال متماثل + $f (- x) = \pm f (x)$ ).
الدورية: $sin / cos$ ( $2 π$ )، $tan$ ( $π$ ).
اتجاه التغير: معدل التزايد. المشتقة (الفصل التالي) ستكون أسرع.
مقارنة المنحنيات: دراسة إشارة $f - g$ .

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = x^{2}

🔑 Formules clés à retenir

مجموعة التعريف:

القسمة: المقام $\neq = 0$
الجذر: المقدار $\geq 0$
اللوغاريتم: المقدار $> 0$

التكافؤ:

زوجية: $f (- x) = f (x)$ ، تماثل / $(O y)$
فردية: $f (- x) = - f (x)$ ، تماثل / الأصل

الدورية: $f (x + T) = f (x)$ ، دورة $T$

$sin, cos$ : دورة $2 π$
$tan$ : دورة $π$

التغير (معدل التزايد):

$T = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

مقارنة المنحنيات: دراسة إشارة $f (x) - g (x)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 للتكافؤ: تحقق دائما من تماثل المجال أولا. إذا لم تكن $D_{f}$ متماثلة بالنسبة لـ 0، لا فائدة من المتابعة — $f$ ليست زوجية ولا فردية.
🎯 لاتجاه التغير: إذا أعطى التمرين تعبيرا معقدا، حاول أولا كتابة $f (x_{2}) - f (x_{1})$ والتحليل بإخراج $(x_{2} - x_{1})$ .
🎯 للدورية: تذكر أن $sin (ω x)$ دورتها $\frac{2 π}{∣ ω ∣}$ . إذن $sin (3 x)$ دورتها $\frac{2 π}{3}$ .
🎯 لمقارنة منحنيين: حلل $f (x) - g (x)$ لإظهار الإشارة بوضوح (غالبا جداء أو قسمة).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — عموميات حول الدوال

النوع 1: تحديد مجموعة التعريف

متى؟ عندما تُعطى دالة ويُطلب $D_{f}$ ، أو قبل أي دراسة.

حدد الشكل: حاصل قسمة، جذر، أو تركيب.
حاصل قسمة $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ : فرض $v (x) \neq = 0$ ، حل $v (x) = 0$ واستبعد هذه القيم.
جذر $u (x)$ : فرض $u (x) \geq 0$ ، حل المتراجحة.
اجمع الشروط بالتقاطع.
اكتب $D_{f}$ على شكل مجالات (أو اتحاد).

مثال سريع: $f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ : يجب $x - 1 \geq 0$ و $x - 3 \neq = 0$ ، إذن $D_{f} = [1; 3 [\cup] 3; + \infty [$ .

النوع 2: دراسة زوجية الدالة

متى؟ يُطلب معرفة إذا كانت $f$ زوجية، فردية، أو لتبسيط الدراسة/المنحنى.

تحقق أولاً من أن $D_{f}$ متماثل بالنسبة إلى $0$ (إذا كان $x \in D_{f}$ فإن $- x \in D_{f}$ ). وإلا، فهي لا زوجية ولا فردية.
احسب $f (- x)$ بتعويض $x$ بـ $- x$ .
إذا كان $f (- x) = f (x)$ : $f$ زوجية (المنحنى متماثل بالنسبة إلى المحور $(O y)$ ).
إذا كان $f (- x) = - f (x)$ : $f$ فردية (المنحنى متماثل بالنسبة إلى الأصل $O$ ).
وإلا، استنتج: لا زوجية ولا فردية.

مثال سريع: $f (x) = x^{2} - cos x$ على $R$ : $f (- x) = (- x)^{2} - cos (- x) = x^{2} - cos x = f (x)$ ، إذن $f$ زوجية.

النوع 3: دراسة اتجاه التغير بمعدل التزايد

متى؟ يُطلب إثبات أن $f$ متزايدة/متناقصة على مجال $I$ بدون مشتقة.

خذ عددين حقيقيين $a$ و $b$ من $I$ بحيث $a < b$ .
شكّل المعدل $T = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ وبسّط التعبير.
ادرس إشارة $T$ على $I$ .
إذا كان $T > 0$ : $f$ متزايدة تماماً؛ إذا كان $T < 0$ : متناقصة تماماً.
استنتج مع تحديد المجال.

مثال سريع: $f (x) = x^{2}$ على $[0; + \infty [$ : $T = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{b - a} = b + a > 0$ ، إذن $f$ متزايدة تماماً.

النوع 4: مقارنة $f$ بدالة مرجعية (تغيرات مركبة)

متى؟ تُكتب $f$ انطلاقاً من دالة معروفة ( $x \mapsto x$ ، $x \mapsto \frac{1}{x}$ ، $x \mapsto x^{2}$ ...).

حدد الدالة المرجعية $u$ ورتابتها على المجال.
صف سلسلة العمليات المطبقة على $u$ (جمع، $\times$ ثابت، جذر...).
طبق القواعد: الضرب في $k > 0$ يحفظ الاتجاه، في $k < 0$ يعكسه.
إذا كانت $u$ متزايدة و $g$ متزايدة فإن $g \circ u$ متزايدة؛ اتجاه معاكس يعكس.
استنتج رتابة $f$ .

مثال سريع: $f (x) = - x + 2$ على $[0; + \infty [$ : $x$ متزايدة، الـ $-$ يعكس، إذن $f$ متناقصة.

النوع 5: تحديد القيم القصوى على مجال

متى؟ يُطلب القيمة العظمى/الصغرى لـ $f$ أو حصرها.

أنشئ جدول تغيرات $f$ على المجال المطلوب.
حدد تغيرات الاتجاه: انتقال من متزايد $\to$ متناقص يعطي قيمة عظمى.
احسب قيمة $f$ عند النقطة المعنية.
حدد: القيمة القصوى محققة عند $x_{0}$ ، القيمة $f (x_{0})$ .
عند الحاجة، أعط الحصر $m \leq f (x) \leq M$ .

مثال سريع: $f (x) = - x^{2} + 4$ تقبل قيمة عظمى عند $x = 0$ قيمتها $f (0) = 4$ ، و $f (x) \leq 4$ على $R$ .

النوع 6: دراسة إشارة $f$ (الوضع بالنسبة لمحور الفواصل)

متى؟ يُطلب إشارة $f (x)$ أو وضع $C_{f}$ بالنسبة لـ $(O x)$ .

حل المعادلة $f (x) = 0$ لإيجاد القيم التي تلغي $f$ .
حلل $f (x)$ إن أمكن (جداء/حاصل قسمة عوامل بسيطة).
أنشئ جدول إشارات العوامل.
استنتج إشارة $f (x)$ على كل مجال.
استنتج: $C_{f}$ فوق $(O x)$ إذا كان $f (x) > 0$ ، تحته إذا كان $f (x) < 0$ .

مثال سريع: $f (x) = (x - 1) (x + 2)$ : $f (x) > 0$ على $] - \infty; - 2 [\cup] 1; + \infty [$ و $f (x) < 0$ على $] - 2; 1 [$ .

النوع 7: مقارنة دالتين (الوضع النسبي لمنحنيين)

متى؟ يُطلب مقارنة $f$ و $g$ ، أو وضع $C_{f}$ بالنسبة لـ $C_{g}$ .

شكّل الفرق $d (x) = f (x) - g (x)$ .
ادرس إشارة $d (x)$ (تحليل ثم جدول إشارات).
إذا كان $d (x) > 0$ : $C_{f}$ فوق $C_{g}$ ؛ إذا كان $d (x) < 0$ : تحته.
النقط حيث $d (x) = 0$ هي نقط التقاطع.
استنتج حسب المجال.

مثال سريع: $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x$ : $d (x) = x^{2} - x = x (x - 1)$ ، إذن $C_{f}$ فوق $C_{g}$ لـ $x < 0$ أو $x > 1$ .

Généralités sur les fonctions numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

21 exercices

Domaine de définition

Facile

Énoncé

حدد مجموعة تعريف الدالة

f

المعرفة بـ

f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}

Ma réponse

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. المفردات الأساسية

تعريف — دالة عددية

مجموعة التعريف — القواعد الثلاث الواجب معرفتها

II. التمثيل البياني

III. تكافؤ دالة

تعريف

النتائج البيانية

طريقة الباكالوريا لدراسة التكافؤ

IV. الدورية

تعريف

أمثلة أساسية

V. اتجاه التغير

تعريف

طريقة دراسة اتجاه التغير (بدون مشتقة)

VI. القيم الحدية لدالة

تعريف

الحصر والقيم الحدية

VII. مقارنة الدوال والوضع النسبي

VIII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

IX. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

X. ما يجب تذكره

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — عموميات حول الدوال

النوع 1: تحديد مجموعة التعريف

النوع 2: دراسة زوجية الدالة

النوع 3: دراسة اتجاه التغير بمعدل التزايد

النوع 4: مقارنة f بدالة مرجعية (تغيرات مركبة)

النوع 5: تحديد القيم القصوى على مجال

النوع 6: دراسة إشارة f (الوضع بالنسبة لمحور الفواصل)

النوع 7: مقارنة دالتين (الوضع النسبي لمنحنيين)

Généralités sur les fonctions numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Domaine de définition

Bijection et image

Domaine et inégalité

Étude de parité d'une somme

تركيب الدالتين f(x) = 2x + 1 و g(x) = x²

Image directe d'un intervalle

Domaine avec racine et fraction

مجال تعريف دالة كسرية

مجموعة تعريف دالة الكلفة المتوسطة

دراسة زوجية دالة

مجال تعريف دالة تحتوي على جذر تربيعي

زوجية دالة زوجية

مقارنة دالتين على فترة

سابق عدد حقيقي

مجموعة التعريف بجذر مربع

دالة مرتبطة بانسحاب شاقولي

زوجية دالة فردية

العمليات على دالتين تآلفيتين

مجموعة تعريف خارج

مجموعة تعريف دالة بجذر

حساب الصور

Exercices Intermédiaires

Variation par taux d'accroissement

Représentation graphique d'une transformation

Image et antécédents

Encadrement d'une fonction

Étude de la parité

Extremum d'une fonction

Fonction associée (translation)

مقارنة قطع مكافئ ومستقيم

القيمة القصوى والربح الأقصى

دالة مرتبطة بانسحاب أفقي

اتجاه التغيُّر بواسطة معدل التغيُّر (المداخيل)

العمليات على الدوال ومجموعة التعريف

مجال وزوجية دالة كسرية

حل بياني باستخدام قطع مكافئ محلل

مجال تعريف: جذر قسمة

مجال تعريف: جذر وقسمة

تركيب الدالتين u(x) = 2x − 1 و v(x) = x²

دالة فردية

النوع 4: مقارنة $f$ بدالة مرجعية (تغيرات مركبة)

النوع 6: دراسة إشارة $f$ (الوضع بالنسبة لمحور الفواصل)