I. المفردات الأساسية

مجموعة التعريف — القواعد الثلاث الواجب معرفتها

لإيجاد $D_f$، نبحث عن قيم $x$ التي من أجلها يكون $f(x)$ موجودا:

• القسمة: $\frac{u(x)}{v(x)}$ تتطلب $v(x)\ne 0$
• الجذر التربيعي: $\sqrt{u(x)}$ يتطلب $u(x)\ge 0$
• اللوغاريتم (سيُدرس لاحقا): $\ln (u(x))$ يتطلب $u(x)>0$

مثال محلول: تحديد $D_f$ للدالة $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$.
- الجذر: $x-1\ge 0\iff x\ge 1$
- المقام غير منعدم: $x-3\ne 0\iff x\ne 3$
إذن $D_f=[1,3[\cup ]3,+\infty [$.

II. التمثيل البياني

المنحنى (أو المنحنى التمثيلي) للدالة $f$ هو المجموعة:

$$C_f=\{M(x,f(x));x\in D_f\}$$

في معلم متعامد ومتجانس $(O;\vec{i},\vec{j})$.

III. تكافؤ دالة

النتائج البيانية

• إذا كانت $f$ زوجية ← $C_f$ متماثل بالنسبة لمحور $(Oy)$
• إذا كانت $f$ فردية ← $C_f$ متماثل بالنسبة لنقطة الأصل $O$

مثال:
$f(x)=x^2$ زوجية لأن $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$.
$g(x)=x^3$ فردية لأن $g(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-g(x)$.
$h(x)=x^2+x$ ليست زوجية ولا فردية لأن $h(-x)=x^2-x\ne h(x)$ و $\ne -h(x)$.

طريقة الباكالوريا لدراسة التكافؤ

1. التحقق من أن $D_f$ متماثلة بالنسبة لـ $0$. وإلا، فإن $f$ ليست زوجية ولا فردية.
2. حساب $f(-x)$.
3. المقارنة مع $f(x)$ و $-f(x)$.

IV. الدورية

أمثلة أساسية

• $\sin$ و $\cos$ دوريتان بدورة $2\pi$
• $\tan$ دورية بدورة $\pi$
• $x\mapsto \sin (2x)$ دورية بدورة $\pi$ (الدورة مقسومة على 2)

V. اتجاه التغير

طريقة دراسة اتجاه التغير (بدون مشتقة)

نستخدم معدل التزايد:

$$T(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

• إذا كان $T(x_1,x_2)>0$ لكل $x_1\ne x_2$ في $I$ ← $f$ متزايدة تماما
• إذا كان $T(x_1,x_2)<0$ لكل $x_1\ne x_2$ في $I$ ← $f$ متناقصة تماما

مثال: دراسة تغيرات $f(x)=x^2$ على $[0,+\infty [$.
ليكن $0\le x_1<x_2$. إذن $T=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_2-x_1}=\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_2-x_1}=x_1+x_2>0$.
إذن $f$ متزايدة تماما على $[0,+\infty [$.

VI. القيم الحدية لدالة

الحصر والقيم الحدية

إذا كان $\forall x\in D,m\le f(x)\le M$، فإن:

• $f$ محدودة من الأسفل بـ $m$ (لكن $m$ ليس بالضرورة محققا)
• $f$ محدودة من الأعلى بـ $M$
• $f$ محدودة

VII. مقارنة الدوال والوضع النسبي

لمقارنة منحنيين $C_f$ و $C_g$ على مجال $I$، ندرس إشارة $f(x)-g(x)$:

• $f(x)-g(x)>0$ على $I$: $C_f$ فوق $C_g$ على $I$
• $f(x)-g(x)<0$ على $I$: $C_f$ تحت $C_g$ على $I$
• $f(x)-g(x)=0$: المنحنيان يتقاطعان عند النقطة ذات الفاصلة $x$

VIII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

تمرين كلاسيكي: لتكن $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$.
1) تحديد $D_f$.
2) دراسة تكافؤ $f$.
3) مقارنة $f$ مع الدالة $g:x\mapsto 2$.

الحل:

1) $f(x)$ موجودة إذا كان $x-1\ne 0$، أي $x\ne 1$. إذن $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

2) $D_f$ غير متماثلة بالنسبة لـ $0$ (لأن $1\notin D_f$ لكن $-1\in D_f$). إذن $f$ ليست زوجية ولا فردية.

3) $f(x)-g(x)=\frac{2x+1}{x-1}-2=\frac{2x+1-2(x-1)}{x-1}=\frac{3}{x-1}$.
إذن:

• إذا كان $x>1$: $\frac{3}{x-1}>0$ إذن $C_f$ فوق المستقيم $y=2$
• إذا كان $x<1$: $\frac{3}{x-1}<0$ إذن $C_f$ تحت المستقيم $y=2$

IX. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

1. نسيان تماثل $D_f$ قبل دراسة التكافؤ. إذا لم تكن $D_f$ متماثلة، فالدالة ليست زوجية ولا فردية، انتهى الأمر.
2. الخلط بين "متزايدة بالمعنى الواسع" و "متزايدة تماما". الفرق: $\le$ مقابل $<$. لإثبات الرتابة التامة، يجب $<$ صارمة.
3. الخلط بين "محدودة بـ M" و "القيمة العظمى تساوي M". يمكن أن تكون $f$ محدودة بـ $M$ دون أن تحققها أبدا (مثال: $f(x)=\frac{x}{x+1}$ على ${\mathbb{R}}^{+}$، محدودة بـ 1 لكن لا تساوي 1 أبدا).
4. نسيان المجال في جدول التغيرات. ابدأ دائما بـ $D_f$.
5. الخلط بين $f(-x)$ و $-f(x)$. $f(-x)$ = نعوض $x$ بـ $-x$ في الصيغة. $-f(x)$ = نأخذ معاكس النتيجة.

X. ما يجب تذكره

• $D_f$: 3 قواعد (قسمة، جذر، لوغاريتم). ابدأ دائما بهذا.
• التكافؤ: شرطان (مجال متماثل + $f(-x)=\pm f(x)$).
• الدورية: $\sin /\cos$ ($2\pi$)، $\tan$ ($\pi$).
• اتجاه التغير: معدل التزايد. المشتقة (الفصل التالي) ستكون أسرع.
• مقارنة المنحنيات: دراسة إشارة $f-g$.