Barycentre dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: يُشكّل المركز الثقلي مفهوم المتوسط المرجح (مثال: السعر المتوسط المرجح، نقطة التوازن).

I. المركز الثقلي لنقطتين مرجحتين

تعريف

لتكن $A$ و $B$ نقطتين في المستوى، $α$ و $β$ عددين حقيقيين بحيث $α + β \neq = 0$ . المركز الثقلي للجملة المرجحة ${(A, α); (B, β)}$ هو النقطة الوحيدة $G$ التي تحقق:

$α G A + β GB = 0$

صيغة عملية

لكل نقطة $M$ في المستوى: $M G = \frac{α M A + β M B}{α + β}$ .

بشكل خاص (مع $M = O$ الأصل):

$G = \frac{α A + β B}{α + β}$

حالة خاصة: المنتصف

إذا كان $α = β = 1$ ، فإن $G$ هو منتصف $[A B]$ .

II. خصائص المركز الثقلي

التجانس: ضرب جميع الأوزان في نفس العدد الحقيقي $k \neq = 0$ لا يغير المركز الثقلي.
المركز الثقلي ينتمي إلى المستقيم $(A B)$ .
موضع المركز الثقلي:
- إذا كان $α$ و $β$ من نفس الإشارة: $G \in [A B]$
- إذا كان $α$ و $β$ من إشارتين متعاكستين: $G$ خارج القطعة $[A B]$

III. المركز الثقلي لثلاث نقط مرجحة

تعريف

لتكن $A, B, C$ ثلاث نقط و $α, β, γ$ ثلاثة أعداد حقيقية بحيث $α + β + γ \neq = 0$ . المركز الثقلي لـ ${(A, α); (B, β); (C, γ)}$ هو النقطة الوحيدة $G$ بحيث:

$α G A + β GB + γ GC = 0$

صيغة عملية

$M G = \frac{α M A + β M B + γ M C}{α + β + γ}$

حالة خاصة: مركز الثقل

إذا كان $α = β = γ = 1$ (أو جميعها متساوية)، فإن $G$ هو مركز ثقل المثلث $A B C$ ، عند تقاطع المتوسطات.

IV. تجميعية المركز الثقلي

مبرهنة (التجميعية)

ليكن $G$ المركز الثقلي لـ ${(A, α); (B, β); (C, γ)}$ مع $α + β \neq = 0$ . إذا كان $H$ المركز الثقلي لـ ${(A, α); (B, β)}$ ، فإن:

$G هو المركز الثقلي لـ {(H, α + β); (C, γ)}$

مفيد جداً لتبسيط الحسابات وتحديد موقع المركز الثقلي.

V. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

المعطى: ليكن $A B C$ مثلثاً. $G$ هو المركز الثقلي لـ ${(A, 2); (B, 1); (C, - 1)}$ . إنشاء $G$ .

الحل (التجميعية):

ليكن $H$ المركز الثقلي لـ ${(B, 1); (C, - 1)}$ . بما أن $1 + (- 1) = 0$ ، فإن هذا المركز الثقلي غير موجود... نجمع بطريقة مختلفة.

ليكن $H$ المركز الثقلي لـ ${(A, 2); (B, 1)}$ . $H = \frac{2 A + B}{3}$ ، إذن $H$ على $[A B]$ على بعد $1/3$ من $B$ .
إذن $G$ هو المركز الثقلي لـ ${(H, 3); (C, - 1)}$ . و $G = \frac{3 H - C}{2}$ . إذن $G$ على المستقيم $(H C)$ ، خارج $[H C]$ ، من جهة $H$ .

VI. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

القسمة على 0. تحقق دائماً من أن مجموع الأوزان $\neq = 0$ .
وضع أوزان سالبة دون تفكير. الإشارة تؤثر على موضع $G$ .
تطبيق التجميعية بشكل خاطئ. تحقق من أن المجموع الجزئي $\neq = 0$ قبل التجميع.
الخلط بين $G A$ و $A G$ . اتجاهان متعاكسان. التعريف يستخدم $G A$ .

📈 Figure clé

Barycentre de deux points pondérés

🔑 Formules clés à retenir

المركز الثقلي لنقطتين ( $α + β \neq = 0$ ):

$α G A + β GB = 0$

$M G = \frac{α M A + β M B}{α + β}$

المنتصف: $α = β = 1$

مركز الثقل: $α = β = γ = 1$

التجميعية: يمكن تجميع نقطتين

في مركزهما الثقلي الجزئي (إذا كان المجموع $\neq = 0$ ).

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 لإنشاء مركز ثقلي: استخدم التجميعية لإرجاعه إلى مركز ثقلي لنقطتين (أبسط).
🎯 ضرب جميع الأوزان في نفس العدد الحقيقي لا يغير شيئاً. يمكنك إذن التبسيط (مثال: أوزان $4, 6, - 2$ → $2, 3, - 1$ ).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المركز الثقلي في المستوى

النوع 1 : إنشاء المركز الثقلي لنقطتين

متى ؟ تُعطى $A$ و $B$ ومعاملان $α$ و $β$ بحيث $α + β \neq = 0$ ، ونبحث عن $G$ .

تحقق من أن $α + β \neq = 0$ (وإلا فإن المركز الثقلي غير موجود).
اكتب العلاقة $α G A + β GB = 0$ .
حوّل لعزل متجه : $A G = \frac{β}{α + β} A B$ .
ضع $G$ على المستقيم $(A B)$ بفضل هذا المعامل.
تحقق من الموضع (بين $A$ و $B$ إذا كان المعاملان من نفس الإشارة).

مثال سريع : $G = bar {(A, 1), (B, 3)}$ : $A G = \frac{3}{4} A B$ ، إذن $G$ عند ثلاثة أرباع $[A B]$ باتجاه $B$ .

النوع 2 : حساب إحداثيات مركز ثقلي

متى ؟ النقط معطاة بإحداثياتها ونريد إحداثيات $G$ .

تحقق من $α + β (+ γ) \neq = 0$ .
طبّق الصيغة : $x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B}}{α + β}$ .
وبالمثل : $y_{G} = \frac{α y _{A} + β y _{B}}{α + β}$ .
لثلاث نقط، أضف الحد $γ$ إلى البسط والمقام.
بسّط واكتب $G (x_{G}; y_{G})$ .

مثال سريع : $A (2; 0)$ و $B (4; 6)$ و $G = bar {(A, 1), (B, 1)}$ : $x_{G} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ و $y_{G} = \frac{0 + 6}{2} = 3$ ، إذن $G (3; 3)$ (منتصف).

النوع 3 : اختزال تعبير متجهي $α M A + β M B$

متى ؟ نريد تبسيط مجموع متجهات يتعلق بنقطة متغيرة $M$ .

تحقق من إشارة المجموع $S = α + β (+ γ)$ .
إذا كان $S \neq = 0$ : أدخل $G$ المركز الثقلي، حينئذ $α M A + β M B = S M G$ .
إذا كان $S = 0$ : المجموع متجه ثابت مستقل عن $M$ (من الشكل $α B A$ ).
عوّض في التعبير الأولي.
استنتج الشكل المختزل.

مثال سريع : $2 M A + M B = 3 M G$ حيث $G = bar {(A, 2), (B, 1)}$ .

النوع 4 : إثبات أن نقطة مركز ثقلي / استقامة

متى ؟ يُطلب إثبات أن $G$ مركز ثقلي، أو أن ثلاث نقط مستقيمية.

انطلق من العلاقة المعطاة وأظهر $α G A + β GB = 0$ .
حدد المعاملات : $G$ هي $bar {(A, α), (B, β)}$ .
للاستقامة : أثبت أن $G$ تُعبَّر كمركز ثقلي لنقطتين من النقط.
استنتج أن $G$ تنتمي إلى المستقيم $(A B)$ .
تحقق من تماسك المعاملات.

مثال سريع : إذا كان $A G = \frac{2}{5} A B$ فإن $G = bar {(A, 3), (B, 2)}$ ، إذن $A$ و $G$ و $B$ مستقيمية.

النوع 5 : المركز الثقلي لثلاث نقط والتجميعية

متى ؟ لدينا ثلاث نقط موزونة ونريد التبسيط بتجميع اثنتين منها.

تحقق من أن مجموع المعاملات الكلي غير معدوم.
اختر نقطتين لتجميعهما واحسب مركزهما الثقلي الجزئي $H$ .
أسند إلى $H$ مجموع المعاملين المجمَّعين.
أعد كتابة $G = bar {(H, α + β), (C, γ)}$ (مبرهنة التجميعية).
أنشئ أو احسب $G$ انطلاقاً من $H$ و $C$ .

مثال سريع : $G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 2)}$ : ضع $I$ منتصف $[A B]$ ، حينئذ $G = bar {(I, 2), (C, 2)}$ = منتصف $[I C]$ .

النوع 6 : تحديد خط مستوى (مجموعة نقط)

متى ؟ نبحث عن مجموعة النقط $M$ بحيث $∥ α M A + β M B ∥ = k$ أو علاقة متجهية.

اختزل $α M A + β M B$ بالمركز الثقلي $G$ : نحصل على $S M G$ .
عوّض في المساواة : $∥ S M G ∥ = k$ تصبح $M G = \frac{k}{∣ S ∣}$ .
تعرّف على الطبيعة : $M G = r$ دائرة مركزها $G$ ونصف قطرها $r$ .
إذا كانت المساواة تتضمن متجهاً ثابتاً، تعرّف على مستقيم.
حدد المركز/نصف القطر أو الاتجاه واستنتج.

مثال سريع : $∥ M A + M B ∥ = 4$ تعطي $∥ 2 M I ∥ = 4$ ( $I$ منتصف)، أي $M I = 2$ : دائرة مركزها $I$ ونصف قطرها $2$ .

النوع 7 : استعمال المركز الثقلي للنقط الخاصة بمثلث

متى ؟ نريد تمييز مركز الثقل أو نقطة منشأة على المتوسطات.

مركز الثقل $G$ لمثلث $A B C$ هو $bar {(A, 1), (B, 1), (C, 1)}$ .
إحداثياته : $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}$ و $y_{G} = \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}$ .
علاقة مفيدة : $G A + GB + GC = 0$ .
$G$ على كل متوسط عند الثلثين من الرأس : $A G = \frac{2}{3} A A^{'}$ .
استغل هذه العلاقات للحسابات أو الإنشاءات.

مثال سريع : $A (0; 0)$ و $B (6; 0)$ و $C (0; 6)$ : $G (2; 2)$ ، و $G A + GB + GC = 0$ .

Barycentre dans le plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Barycentre de 2 points

Facile

Énoncé

ليكن

A

B

نقطتين. أنشئ المركز الثقلي

G

للمجموعة

{(A, 3); (B, 2)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Coefficients de somme nulle

Facile

Énoncé

لتكن

A

B

C

ثلاث نقط. هل تسمح المعاملات

(2, - 3, 1)

بتعريف مركز ثقل؟

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Vérification définition

Facile

Énoncé

ليكن

A (0, 0)

B (6, 0)

. تحقق من أن

G (4, 0)

هو مركز ثقل

{(A, 1), (B, 2)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Centre de gravité

Facile

Énoncé

لتكن

A (1, 2)

B (4, 5)

C (- 2, 8)

. احسب إحداثيات مركز الثقل

G

للمثلث

A B C

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Barycentre de 3 points

Facile

Énoncé

لتكن

A (1, 2)

B (4, - 1)

C (- 2, 3)

. احسب إحداثيات مركز الثقل

G

للجملة

{(A, 1), (B, 2), (C, 1)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Isobarycentre = centre de gravité

Facile

Énoncé

لیكن

A B C

مثلثاً،

G

مركز ثقله. برهن أن

G

هو مركز ثقل الجملة

{(A, 1), (B, 1), (C, 1)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Milieu et barycentre

Facile

Énoncé

ليكن

A (2, 3)

B (8, - 1)

. تحقق من أن منتصف

[A B]

هو مركز ثقل

{(A, 1), (B, 1)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

7 exercices

Vecteur constant si somme nulle

Intermédiaire

Énoncé

لتكن

A

B

C

ثلاث نقاط. أثبت أن المتجه

w = M A - 2 M B + M C

مستقل عن النقطة

M

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Barycentre et alignement

Intermédiaire

Énoncé

ليكن

A

B

نقطتين متمايزتين. أوجد النقطة

M

على المستقيم

(A B)

بحيث

M A + 3 M B = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Médiane et centre de gravité

Intermédiaire

Énoncé

ليكن

A B C

مثلثاً و

A^{'}

منتصف

[B C]

. برهن أن مركز الثقل

G

يحقق

A G = \frac{2}{3} A A^{'}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Lieu géométrique

Intermédiaire

Énoncé

ليكن

A

B

نقطتين متمايزتين. حدد مجموعة النقط

M

بحيث

2 M A + 3 M B = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Centre de gravité

Intermédiaire

Énoncé

لتكن

A B C

مثلثاً،

G

مركز ثقله. أثبت أن

G A + GB + GC = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Associativité du barycentre

Intermédiaire

Énoncé

لتكن

A

B

C

ثلاث نقط.

H = bar {(A, 2), (B, 3)}

G = bar {(H, 5), (C, 1)}

. بين أن

G = bar {(A, 2), (B, 3), (C, 1)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Réduction d'une somme vectorielle

Intermédiaire

Énoncé

لتكن

A

B

C

M

أربع نقاط من المستوى. اختزل المجموع

u = M A + 2 M B - M C

بدلالة متجهة واحدة.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Barycentre dans le plan

Barycentre dans le plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. المركز الثقلي لنقطتين مرجحتين

تعريف

صيغة عملية

حالة خاصة: المنتصف

II. خصائص المركز الثقلي

III. المركز الثقلي لثلاث نقط مرجحة

تعريف

صيغة عملية

حالة خاصة: مركز الثقل

IV. تجميعية المركز الثقلي

مبرهنة (التجميعية)

V. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

VI. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — المركز الثقلي في المستوى

النوع 1 : إنشاء المركز الثقلي لنقطتين

النوع 2 : حساب إحداثيات مركز ثقلي

النوع 3 : اختزال تعبير متجهي αMA+βMB

النوع 4 : إثبات أن نقطة مركز ثقلي / استقامة

النوع 5 : المركز الثقلي لثلاث نقط والتجميعية

النوع 6 : تحديد خط مستوى (مجموعة نقط)

النوع 7 : استعمال المركز الثقلي للنقط الخاصة بمثلث

Barycentre dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Barycentre de 2 points

Coefficients de somme nulle

Vérification définition

Centre de gravité

Barycentre de 3 points

Isobarycentre = centre de gravité

Milieu et barycentre

Exercices Intermédiaires

Vecteur constant si somme nulle

Barycentre et alignement

Médiane et centre de gravité

Lieu géométrique

Centre de gravité

Associativité du barycentre

Réduction d'une somme vectorielle

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Barycentre dans le plan

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

النوع 3 : اختزال تعبير متجهي $α M A + β M B$