I. خطة دراسة دالة (طريقة في 7 خطوات)

1. مجموعة التعريف $D_f$
2. الزوجية، الدورية (إذا كان ذلك مناسباً) لتبسيط الدراسة
3. النهايات عند حدود المجموعة
4. القابلية للاشتقاق وحساب $f^{\prime }(x)$
5. إشارة $f^{\prime }$ وجدول التغيرات
6. المقاربات (الرأسية، الأفقية، المائلة)
7. رسم المنحنى $C_f$

II. المقارب المائل

كيف نجد $a$ و $b$ ؟

1. $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$
2. $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-ax)$

إذا كانت النهايتان موجودتين ومنتهيتين، فإن $C_f$ يقبل المقارب المائل $y=ax+b$.

III. الوضع النسبي للمنحنى / المقارب

دراسة إشارة $f(x)-(ax+b)$ :

• $>0$ : $C_f$ فوق المقارب
• $<0$ : $C_f$ تحت المقارب
• $=0$ : تقاطع (نادر)

IV. مركز التماثل / محور التماثل

محور التماثل

يقبل $C_f$ المستقيم $x=a$ كمحور تماثل إذا وفقط إذا $\forall h$ بحيث $a+h,a-h\in D_f$ :

$$f(a+h)=f(a-h)$$

مركز التماثل

يقبل $C_f$ النقطة $\Omega (a,b)$ كمركز تماثل إذا وفقط إذا:

$$f(a+h)+f(a-h)=2b$$

V. الفروع اللانهائية

عندما $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$، ندرس:

1. إذا كان $\lim \frac{f(x)}{x}=\infty$ : فرع قطع مكافئ باتجاه $(Oy)$
2. إذا كان $\lim \frac{f(x)}{x}=0$ : فرع قطع مكافئ باتجاه $(Ox)$
3. إذا كان $\lim \frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ و $\lim (f(x)-ax)=b$ : مقارب مائل $y=ax+b$
4. إذا كان $\lim \frac{f(x)}{x}=a$ و $\lim (f(x)-ax)=\infty$ : اتجاه مقارب $y=ax$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: دراسة الدالة $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.

الحل:

$D_f={\mathbb{R}}^{\ast }$. فردية لأن $f(-x)=-f(x)$. ندرس على $]0,+\infty [$.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ → مقارب رأسي $x=0$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$، $\frac{f(x)}{x}=1+\frac{1}{x^2}\to 1$، $f(x)-x=\frac{1}{x}\to 0$.
إذن مقارب مائل $y=x$ عند $+\infty$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$.
$f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 1$. إشارة $f^{\prime }$ : $f^{\prime }(x)>0$ على $]1,+\infty [$، $f^{\prime }(x)<0$ على $]0,1[$.
قيمة صغرى محلية عند $x=1$ : $f(1)=2$.

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

1. حساب النهاية قبل التبسيط. دائماً بسّط أولاً.
2. الخلط بين الاتجاه المقارب والمقارب المائل. الاتجاه = الميل فقط. المقارب = الميل + الإحداثي الصادي للأصل.
3. نسيان الوضع النسبي للمنحنى/المقارب في الاستنتاج البياني.
4. رسم المنحنى بدون جدول التغيرات.
5. عدم التحقق من أن $f$ متصلة / قابلة للاشتقاق قبل استخدام هذه الخصائص.